Fonction pathologique continue et nulle part dérivable.

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

fonction pathologique continue et nulle part dérivable.

par Nightmare » 24 Aoû 2010, 19:48

Salut,

pour les futures taupes qui s'ennuient, je soumets ce long (après prévisualisation...) exercice guidé, type DS. Les notions abordés sont niveau bac+2 mais j'ai écrit l'énoncé de sorte qu'il soit parfaitement faisable par les lycéens doués que vous êtes :lol3:

I]Début de construction :

On considère la fonction telle que est la distance entre x et , autrement dit la distance entre x et l'entier qui lui est le plus proche.

1) Montrer que f est bornée et 1-périodique
2) Montrer que f est 1-lipschitzienne
3) tracer le graphe de f.

II]Etude d'une série de fonction.

Soit n un entier naturel et x un réel quelconques, on pose

1) Justifier que pour tout n, l'application est 1-lipschitzienne et -périodique

2) Justifier que pour tous nombres entier n et réel x,

3) En déduire que pour tout x, la suite est convergente.

III]Etude de la continuité de la limite

Posons et introduisons le reste

1) Montrer que la convergence de entraine que pour tout x,

2) Si g est une fonction bornée, on pose .

- Justifier en utilisant II]2) qu'il existe un entier N tel que soit convergente

- En déduire que puis que la suite de fonction converge uniformément vers la fonction nulle , c'est à dire qu'à fixé, il existe un entier M tel que, pour tout n entier et x réel,

3) Justifier en s'aidant de ce qui précède que la suite de fonction converge uniformément vers sa limite

4) Montrer que la convergence uniforme de et la continuité des fonctions entrainent la continuité de .

IV] Dérivabilité de la limite

Soient a un réel, , , et

1)Justifier que et

2) On note et pour .

- Montrer que si ou si alors

- De même, montrer que si ou si alors

3) Par un raisonnement identique, montrer que pour , ou valent de même plus ou moins 1

4) En déduire que S n'est dérivable en aucun réel.


J'avais prévu d'écrire des indications, mais après voir tapé tout ça, j'ai un peu la flemme, donc ce sera pour plus tard, s'il y a des courageux qui s'attaquent à l'exercice et s'y retrouvent bloqués.

Bon courage
:happy3:



Anonyme

par Anonyme » 24 Aoû 2010, 21:31

Merci pour l'exo :zen:

J'ai lu la derniere question pour voir un peu quel est le but de cet exercise. S'agit-il de demontrer qu'il existe des fonctions continues nulle part derivable ? (Edit j'avais pas remarque que c'etait dans le titre :briques: :ptdr: )

Je me lance:

1) Tout reel x est compris entre E(x) et E(x)=1.

Nous avons alors A partir de la on distingue deux cas

Cas 1:
Dans ce cas la

Cas 2:
Dans ce cas la

Donc pour tout x on a est donc bornee.

et en plus
(Cas 1)
(Cas 2)

Donc la fonction f(x) est 1-periodique.

Je ne sais pas si on peut faire plus court (sans distinguer deux cas ) mais c'est la 1ere idee qui m'est venue a l'esprit.

2/ Je cherche le sens de 1-lipschitzienne et je reviens

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

par Nightmare » 24 Aoû 2010, 21:34

Salut !

Ce que tu as fait me convient pour le début.

On cherche bien à exhiber une fonction continue en tout point dérivable en aucun. Chose amusante est qu'il est possible de montrer qu'il en existe sans en exhiber (en utilisant le fameux théorème de Baire) mais ce n'est pas le but ici.

J'ai volontairement laissé certaines choses qui ne sont pas au programme du lycée sans explications, puisqu'elles sont aisément trouvables sur internet.

Anonyme

par Anonyme » 24 Aoû 2010, 21:41

Nightmare a écrit:Salut !

Ce que tu as fait me convient pour le début.

Est ce que c'etait faisable sans distinguer deux cas ? (Ca m'interesserais bien de savoir comment si c'est possible.
J'ai volontairement laissé certaines choses qui ne sont pas au programme du lycée sans explications, puisqu'elles sont aisément trouvables sur internet.

Y a pas de soucis :zen:
Voila ce que j'ai trouve http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./l/lipschitzienne.html (assez simple comme concept). Je suppose que que le 1 dans "1-lipschitzienne " represente le rapport k. C'est bien ca ?

wotan
Membre Naturel
Messages: 14
Enregistré le: 24 Aoû 2010, 16:30

par wotan » 24 Aoû 2010, 21:48

Merci pour le petit jeu! Je m'ennuie en ce moment au boulot justement.

En rapport avec la première partie, je me demandais si f est correctement définie? Quel serait la valeur de f(0.5)? 0 ou 1?

Anonyme

par Anonyme » 24 Aoû 2010, 21:51

wotan a écrit:Merci pour le petit jeu! Je m'ennuie en ce moment au boulot justement.

En rapport avec la première partie, je me demandais si f est correctement définie? Quel serait la valeur de f(0.5)? 0 ou 1?

0.5 puisqu'on f(x) ne renvoie pas l'entier le plus proche mais la distance qui separe x et l'entier le plus proche.

Anonyme

par Anonyme » 24 Aoû 2010, 21:59

Pour la 2/ il s'agit de montrer que .

Réponse


varie suivant les cas :

Si x et y sont dans le cas 1 alors
Si x et y sont dans le cas 2 alors
Si x se trouve dans le cas 1 et y dans le cas 2 alors

Edit: Pour ne pas faire un triple post (enfin pour l'instant :p) je rajoute la reponse du 3/

La fonction etant 1-periodique il suffit de tracer le graphe sur [0,1] ce qui est assez facile puisque le graphe coincide avec la droite d'equation y=x sur [0,0.5] et avec la droite d'equation y=1-x sur [0.5, 1]. On obtient alors un motif qu'on reproduit a l'infini.

benekire2
Membre Transcendant
Messages: 4678
Enregistré le: 08 Avr 2009, 18:39

par benekire2 » 24 Aoû 2010, 22:34

Merci !!

Je l'attaque dès que j'ai fini ton autre problème :we:

Anonyme

par Anonyme » 24 Aoû 2010, 22:53

Pour la partie II:

1/ Il faut montrer que

Or f(x) est 1-lipschitzienne donc:



Donc est 1-lipschitzienne

(car f(x) est 1-periodique

2/

===>

3/ La suite est croissante . De plus on a
.

Une suite croissante et majoree converge donc converge.

Doraki
Habitué(e)
Messages: 5021
Enregistré le: 20 Aoû 2008, 13:07

par Doraki » 24 Aoû 2010, 23:41

Qmath a écrit:3/ La suite est croissante . De plus on a
.

Une suite croissante et majoree converge donc converge.

Il faut un majorant qui ne dépend pas de n.

Anonyme

par Anonyme » 25 Aoû 2010, 00:03

Doraki a écrit:Il faut un majorant qui ne dépend pas de n.


En effet, c'est mieux meme si ca ce voit qu'il ne peut tendre vers l'infini.

.

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

par Nightmare » 25 Aoû 2010, 15:54

Qmath a écrit:



Attention, ceci est faux en général ! (x=y=1 et k=2)

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

par Nightmare » 25 Aoû 2010, 15:59

Qmath a écrit:Est ce que c'etait faisable sans distinguer deux cas ? (Ca m'interesserais bien de savoir comment si c'est possible.


Pour montrer que f est bornée, j'ai distingué les cas comme tu l'as fait, je ne vois pas plus simple (ça l'est déjà assez comme ça :lol3:)

Pour la 1-périodicité, on peut remarquer sans distinction de cas que |x+1-n| = |x-(n-1)| ce qui permet d'écrire que d(x+1,Z) est inférieure à d(x,Z).

Mais de même, |x-n|=|(x+1)-(n+1)| et donc d(x,Z) est inférieure à d(x+1,Z). Au final, d(x,Z)=d(x+1,Z)

Mathusalem
Membre Irrationnel
Messages: 1837
Enregistré le: 14 Sep 2008, 05:41

par Mathusalem » 25 Aoû 2010, 16:48

L'exercice semble intéressant, mais je me pose une question.
Le but de l'exercice est de montrer qu'elle est partout continue mais nulle part dérivable.
J'ai essayé de la représenter vite fait mentalement, et je ne trouve pas de différence entre cette fonction, et

f(x) = +x si 0 < |x - E(x)| < 0.5
f(x) = - x si |x - E(x)| > 0.5
f(x) = 0 si |x - E(x)| = 0
f(x) = 0.5 si |x - E(x) | = 0.5

Où E(x) est la partie entière de x.
Pourtant, cette fonction par partie est dérivable partout sauf aux pointes et elle est continue. Quelle est donc cette différence fondamentale ?

Anonyme

par Anonyme » 25 Aoû 2010, 16:53

Nightmare a écrit:Attention, ceci est faux en général ! (x=y=1 et k=2)


Cette inegalite est vrai quand ?

Mathusalem a écrit:L'exercice semble intéressant, mais je me pose une question.
Le but de l'exercice est de montrer qu'elle est partout continue mais nulle part dérivable.
J'ai essayé de la représenter vite fait mentalement, et je ne trouve pas de différence entre cette fonction, et

f(x) = +x si 0 0.5
f(x) = 0 si |x - E(x)| = 0
f(x) = 0.5 si |x - E(x) | = 0.5

Où E(x) est la partie entière de x.
Pourtant, cette fonction par partie est dérivable partout sauf aux pointes et elle est continue. Quelle est donc cette différence fondamentale ?


Ce n'est pas f(x) qui est continue nulle part derivable mais une suite de fonction defini a partir de f(x) que tu trouvera dans les parties suivantes de l'exo.

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

par Nightmare » 25 Aoû 2010, 17:10

Mathusalem a écrit:L'exercice semble intéressant, mais je me pose une question.
Le but de l'exercice est de montrer qu'elle est partout continue mais nulle part dérivable.
J'ai essayé de la représenter vite fait mentalement, et je ne trouve pas de différence entre cette fonction, et

f(x) = +x si 0 0.5
f(x) = 0 si |x - E(x)| = 0
f(x) = 0.5 si |x - E(x) | = 0.5

Où E(x) est la partie entière de x.
Pourtant, cette fonction par partie est dérivable partout sauf aux pointes et elle est continue. Quelle est donc cette différence fondamentale ?


Salut :happy3:

Attention, la fonction pathologique n'est pas la fonction f de la partie I] mais la fonction S, limite de la série de la partie II]. Effectivement, le graphe de f est une espèce de dent de scie avec des pointes où la fonction n'est pas dérivable. S a la même "forme" mais avec des pointes partout (on a réitéré le procédé de construction), c'est pour ça qu'elle n'est dérivable nulle part.

Mathusalem
Membre Irrationnel
Messages: 1837
Enregistré le: 14 Sep 2008, 05:41

par Mathusalem » 25 Aoû 2010, 17:24

Nightmare a écrit:Salut :happy3:

Attention, la fonction pathologique n'est pas la fonction f de la partie I] mais la fonction S, limite de la série de la partie II]. Effectivement, le graphe de f est une espèce de dent de scie avec des pointes où la fonction n'est pas dérivable. S a la même "forme" mais avec des pointes partout (on a réitéré le procédé de construction), c'est pour ça qu'elle n'est dérivable nulle part.


Merci des réponses.
En effet, il me semblait bien que ça devait plus ou moins avoir la tronche d'une fct. de Weierstrass.

GeorgeB
Membre Relatif
Messages: 123
Enregistré le: 15 Fév 2010, 22:21

par GeorgeB » 26 Aoû 2010, 17:11

Bonjour,

Je suis intéressé par cet exercice, car je suis futur taupe :happy2:

Je suis sur la partie II, question 1 et je n'y arrive pas. Quelqu'un pourrait-il me donner une aide s'il vous plait ?

Merci d'avance :happy2:

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

par Nightmare » 26 Aoû 2010, 17:31

Hello,

Qmaths a donné sa réponse à cette question dans le post #9 si tu veux y jeter un oeil :happy3:

GeorgeB
Membre Relatif
Messages: 123
Enregistré le: 15 Fév 2010, 22:21

par GeorgeB » 26 Aoû 2010, 17:48

Pardon, c'est partie III-2 que j'arive plus, excuse moi

 

Retourner vers ✎✎ Lycée

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : vam et 53 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite