pour les futures taupes qui s'ennuient, je soumets ce long (après prévisualisation...) exercice guidé, type DS. Les notions abordés sont niveau bac+2 mais j'ai écrit l'énoncé de sorte qu'il soit parfaitement faisable par les lycéens doués que vous êtes :lol3:
I]Début de construction :
On considère la fonction telle que est la distance entre x et , autrement dit la distance entre x et l'entier qui lui est le plus proche.
1) Montrer que f est bornée et 1-périodique
2) Montrer que f est 1-lipschitzienne
3) tracer le graphe de f.
II]Etude d'une série de fonction.
Soit n un entier naturel et x un réel quelconques, on pose
1) Justifier que pour tout n, l'application est 1-lipschitzienne et -périodique
2) Justifier que pour tous nombres entier n et réel x,
3) En déduire que pour tout x, la suite est convergente.
III]Etude de la continuité de la limite
Posons et introduisons le reste
1) Montrer que la convergence de entraine que pour tout x,
2) Si g est une fonction bornée, on pose .
- Justifier en utilisant II]2) qu'il existe un entier N tel que soit convergente
- En déduire que puis que la suite de fonction converge uniformément vers la fonction nulle , c'est à dire qu'à fixé, il existe un entier M tel que, pour tout n entier et x réel,
3) Justifier en s'aidant de ce qui précède que la suite de fonction converge uniformément vers sa limite
4) Montrer que la convergence uniforme de et la continuité des fonctions entrainent la continuité de .
IV] Dérivabilité de la limite
Soient a un réel, , , et
1)Justifier que et
2) On note et pour .
- Montrer que si ou si alors
- De même, montrer que si ou si alors
3) Par un raisonnement identique, montrer que pour , ou valent de même plus ou moins 1
4) En déduire que S n'est dérivable en aucun réel.
J'avais prévu d'écrire des indications, mais après voir tapé tout ça, j'ai un peu la flemme, donc ce sera pour plus tard, s'il y a des courageux qui s'attaquent à l'exercice et s'y retrouvent bloqués.
Bon courage
:happy3: