Fonction pathologique continue et nulle part dérivable.

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
Anonyme

par Anonyme » 27 Aoû 2010, 17:24

Salut,

Je m'en doutais un peu de la reponse .

Alors pour la suite :





Or on a prouve que pour tout il existe un entier M tel que pour tout x
si n>M et en remplacant on montre la convergence uniforme de vers



Nightmare
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par Nightmare » 27 Aoû 2010, 17:46

Toujours correct ! Reste à montrer la continuité de la limite grâce à la convergence uniforme, rien de bien méchant.

Anonyme

par Anonyme » 27 Aoû 2010, 20:17

Une convergence simple ne suffit elle pas ?

Nightmare
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par Nightmare » 27 Aoû 2010, 20:21

Non ! Contre-exemple?

Cela dit, un théorème de Baire (dit de la limite simple) énonce que la limite d'une suite de fonctions continues qui converge simplement est continue presque partout au sens de Baire (ie sur un ensemble dense dans R).

benekire2
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par benekire2 » 27 Aoû 2010, 20:52

Nightmare >> J'avais entendu parler d'un contre exemple avec des fonctions trigonométriques qui convergent non uniformément , mais je me souviens plus :cry:

Qmath >> Je pense rien t'apprendre en te disant que la différence dans la convergence simple et uniforme c'est l'ordre des quantificateurs, que dans la convergence simple on prend un x, puis un epsilon et on trouve un N tel que n>N => |f_n(x)-f(x)|N => |f_n(x)-f(x)|Cela dit c'est toujours bien de garder cela a l'esprit :zen:

Nightmare
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par Nightmare » 27 Aoû 2010, 20:54

Hum, non, pas besoin d'aller chercher si compliqué.

benekire2
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par benekire2 » 27 Aoû 2010, 20:58

En cherchant un peut sur internet j'ai qui est un contre exemple ( pas dur a le démontrer) mais doit y avoir plus simple quand même ...

Nightmare
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par Nightmare » 27 Aoû 2010, 21:01

Ta suite de fonction converge simplement vers 0 qui est bien continue !

Edit : Non, au temps pour moi, ce qui se passe en 0 construit bien un contre exemple. Cela dit, il y a effectivement beaucoup plus simple, un dessin suffirait presque.

Edit 2 : En fait, il ne se passe rien à 0, puisque fn(0)=0 ce n'est effectivement pas un contre exemple.

benekire2
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par benekire2 » 27 Aoû 2010, 21:09

Bon, je fini cette partie III , question 4 :

Déjà nos fonctions S_n sont continues par somme de fonctions continues.

Ensuite ; il suffit de montrer la continuité en un point donné b :
Soit il existe un entier N tel que pour tout x n>N => |S_n(x)-S(x)|<epsilon

Or S_n est continue, donc il existe un intervalle I tel que pour tout x de I |S_n(x)-S_n(b)|<epsilon

D'où : pour tout x de I :

|S(x)-S(b)|<|S(x)-S_n(x)|+|S_n(x)-S_n(b)|+|S_n(b)-S(b)|<3 epsilon

Et avec epsilon'=epsilon le tour est joué.

PS. Ce soir je "latexiserais"

benekire2
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par benekire2 » 27 Aoû 2010, 21:12

Nightmare >> Ah pardon ... j'ai cru qu'on cherchait une suite de fonctions convergent simplement et pas uniformément ...

Mea culpa :lol3:

Nightmare
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par Nightmare » 27 Aoû 2010, 21:18

Comment prouves-tu qu'elle ne converge pas uniformément? C'est un exercice intéressant mais un peu plus difficile.

Anonyme

par Anonyme » 27 Aoû 2010, 21:19

En effet Benekire l'ordre compte pour beaucoup mais c'est bien plus simple de l'ecrire que de concevoir mentalement de quoi il peut s'agir surtout quand on est nouveau.

Nightmare si je demande c'est que je pense avoir une demo qui n'utilise que la convergence simple :
On fixe x:


Qu'en pensez vous ?

benekire2
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par benekire2 » 27 Aoû 2010, 22:09

Qmath >> Pour ta première démo tu as fixé x et si tu regarde mon post 43 tu verra que pour l'uniformité on ne fixe pas de x du moins pas avant le epsilon. J'ai pas lu la suite ( devant la télé ...)

Nightmare >> Oui c'est pas tout a fait trivial, mais là où j'ai trouvé ça les grandes lignes de la démo sont données et ça a l'air bien :id: Je la mettrais tt à l'heure,

Anonyme

par Anonyme » 27 Aoû 2010, 22:13

benekire2 a écrit:Qmath >> Pour ta première démo tu as fixé x et si tu regarde mon post 43 tu verra que pour l'uniformité on ne fixe pas de x du moins pas avant le epsilon. J'ai pas lu la suite ( devant la télé ...)



Oui mais je ne crois pas que cela gene la demo .. Il se peut que je me trompe mais je vois pas trop comment.

Nightmare
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par Nightmare » 28 Aoû 2010, 16:02

Dès le début, tu fixes x. Tout ce que tu introduis après dépend de ce x fixé, même chose pour x0. Pourtant, pour conclure, il faudrait que tout ceci soit vrai sans que rien ne dépende de x et x0, ce qu'apporte la convergence uniforme.

Anonyme

par Anonyme » 28 Aoû 2010, 19:38

Il est evident qu'avec la convergence uniforme ça passe. Maintenant je ne vois toujours pas pourquoi le fait qu'on fixe au debut derange. Il faudra que je relise la demo calmement etape par etape (car je suis certain que j'ai tort) .

Anonyme

par Anonyme » 28 Aoû 2010, 21:54

J'ai revu la demo et je ne vois toujours pas ce qui ne fonctionne pas. Je la reecris differemment:

On fixe (seulement), on a alors:


En prenant x dans l'intervalle [x_0-\eta,x_0+\eta] on a:

et



la fonction S(x) est alors continue en et donc sur R puisqu'il n'y pas de conditions sur

C'est mieux maintenant ?

S'il y a toujours une erreur pouvez vous m'indiquer clairement ou elle reside ?

Merci

Nightmare
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par Nightmare » 29 Aoû 2010, 15:04

[quote="Qmath"]J

[TEX]|S(x)-S(x_0)| M. Problème, M dépend de x...

Anonyme

par Anonyme » 29 Aoû 2010, 16:32

Nightmare a écrit:Quel n prends-tu pour que ce soit vrai? D'après ce que tu as écrit, on peut prendre n > M. Problème, M dépend de x...


Je sais bien que M depend de x mais ce que je n'arrive pas a comprendre c'est :
Pourquoi on cherche a majorer l'ensemble des entiers M ? Pour chaque point de l'ensemble
je prend un M différent.

C'est comme ci je démontre le résultat pour chaque point de l'intervalle puis j'en deduis que c'est vrai sur l'intervalle puisque c'est vrai sur chacun de ses points.

Nightmare
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par Nightmare » 29 Aoû 2010, 17:16

Je reprends, en essayant d'être plus clair :

La base de ta démonstration, c'est l'inégalité . Ensuite le principe de ta démo, c'est que, pour montrer que |S(x)-S(a)| est aussi petit qu'on veut pourvu que x soit assez proche de a, c'est de montrer que c'est vrai pour chaque terme du membre de droite.

Par continuité, on sait déjà que c'est vrai pour |Sn(x)-Sn(a)|. Tu veux qu'il en soit de même pour . Fixons un x0 assez proche de a. On sait, par convergence simple, que |Sn(x0)-S(x0)| sera aussi petit que l'on veut à partir d'un certain rang N0. Si l'on veut donc majorer |Sn(x0)-S(x0)| par notre fixé en début de démo, il faut donc prendre n=N0 ou plus grand. Maintenant je prends un x1 encore plus proche de a. De nouveau, par convergence simple, on sait qu'on va pouvoir rendre |Sn(x1)-S(x1)| plus petit que à partir d'un certain rang N1. Pour que |Sn(x0)-S(x0)| ET |Sn(x1)-S(x1)| soient tous les deux inférieurs à , il faut donc dans ma démo que je prenne un n au moins égal aux max de N1 et N2. Et si je prends un x2 encore plus proche de a, j'ai un autre rang à prendre en compte. Au final, si je considère tous les x au voisinage de a, quel n je prends dans mon inégalité?

As-tu compris ce qu'apporte le caractère uniforme de la convergence?

 

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