Je reprends, en essayant d'être plus clair :
La base de ta démonstration, c'est l'inégalité
. Ensuite le principe de ta démo, c'est que, pour montrer que |S(x)-S(a)| est aussi petit qu'on veut pourvu que x soit assez proche de a, c'est de montrer que c'est vrai pour chaque terme du membre de droite.
Par continuité, on sait déjà que c'est vrai pour |Sn(x)-Sn(a)|. Tu veux qu'il en soit de même pour
. Fixons un x0 assez proche de a. On sait, par convergence simple, que |Sn(x0)-S(x0)| sera aussi petit que l'on veut à partir d'un certain rang N0. Si l'on veut donc majorer |Sn(x0)-S(x0)| par notre
fixé en début de démo, il faut donc prendre n=N0 ou plus grand. Maintenant je prends un x1 encore plus proche de a. De nouveau, par convergence simple, on sait qu'on va pouvoir rendre |Sn(x1)-S(x1)| plus petit que
à partir d'un certain rang N1. Pour que |Sn(x0)-S(x0)| ET |Sn(x1)-S(x1)| soient tous les deux inférieurs à
, il faut donc dans ma démo que je prenne un n au moins égal aux max de N1 et N2. Et si je prends un x2 encore plus proche de a, j'ai un autre rang à prendre en compte. Au final, si je considère tous les x au voisinage de a, quel n je prends dans mon inégalité?
As-tu compris ce qu'apporte le caractère uniforme de la convergence?