Fonction avec Log et Valeur absolue

[Augustin]

Bonjour,
j'ai une fonction à etudier, mais je ne vois pas comment elle est, j'ai essayé de la tracer avec la calculette, avec des logiciels comme Graphcalc mais impossible d'y arriver...

Là voici: f(x) = -x/2 + ln |(x-1)/x|

Quelqu'un peut-il me dire si cette fonction est définie sur ]- l'infini; 0[ ?

Et que se passe-t-il dans ]0;1[ ?

Je n'arrive pas à me représenter le comportement de la valeur absolue avec ln (le deuxième morceau de la fonction).

En 0 je trouve sa limite en - l'infini, alors que dans mon tableau de variations elle décroit encore sur ]0;1[ ... :triste:

Merci bien

[Benjamin]

Bonjour,

Tu as déjà posté ce topic hier, et j'ai déjà répondu :
http://maths-forum.com/showthread.php?t=62605

Pour gérer la valeur absolue, il faut que tu étudies le signe de ce qu'il y a à l'intérieur. Tu découpes ton intervalle en fonction de celà.
Pour les valeurs y=1-1/x>0, tu remplaces |y| pour y, et pour les valeurs y<0, tu remplaces |y| par -y.

N'oublie pas non plus qu'il y a une valeur interdite.
Tu dois te retrouver avec 4 intervalles d'études. Lesquels ?

[Augustin]

J'ai deux valeurs interdites, 1 et 0, et j'ai comme valeurs -1 et 2 quand la dérivée (donnée dans l'énoncé) s'annule.

J'ai le signe de -x²+x+2 et le signe de 2x(x-1), le tout donne f'(x)
positif sur ]-l'infini;-1[
nul en -1
négatif sur ]-1;0[U]0;1[
positif sur ]1;2[
nul en 2
et ensuite négatif.

[Benjamin]

Il me semblait qu'hier, tu n'avais pas réussi à calculer la dérivée. Y es-tu arrivé maintenant ?
Je ne suis pas sûr de savoir ce que tu demandes pour le coup. Ce dont je te parle ce fait avant le calcul de la dérivée, et permettra le calcul de cette dérivée, calcul que tu n'arrivais pas à faire hier. Où en es-tu dans cet exo ?

Je réalise d'ailleurs que la fonction a changé par rapport à hier.

Tu avais donné dans le logarithme : |x-1/x| et aujourd'hui, tu mets |(x-1)/x|, ce qui n'est pas la même chose. Lequel des 2 est juste ?

[Augustin]

La dérivée c'est fait.
Ce qui me trouble c'est pour le tableau de variation de F' et F, je ne vois pas comment se comporte la courbe autour de 0 et 1, j'ai une limite en 0 égale à
- l'infini, et pourtant la dérivée est négative sur ]0;1[ donc j'obtient une courbe toujours décroissante après -l'infini ....

Pourtant lim f(x) (quand x->0) = lim|(x-1)/x| = lim |x/x| = 0
et lim lnX (quand X->0) = - l'infini

C'est bien ça ?

[Benjamin]

Non, c'est pas ça.
(x-1)/x=1-1/x donc la limite en 0, c'est + ou - l'infini, avec la valeur absolue, ca fait +00, et la limite de ln(x) en +00, c'est +00, donc ta limite, c'est +00 :)

[Augustin]

Merci c'est gentil mais je ne comprend pas le raisonnement...

Pourquoi lim ln|1-1/x| fait +00 ou -00

Pour moi ça ferait :

1/x tend vers +00 quand x tend vers 0
et 1 - (+00) le tout tend vers -00
avec la valeur absolue on a donc +00

j'ai bon ? :marteau:

[Benjamin]

Presque. 1/x tends vers -00 si x tends vers 0- et tends vers +00 quand x tends vers 0+.

Pour le reste, tout est bon :)

[Augustin]

Parfait !! ça résoud donc mon problème dans le tableau de variation !!

Merci beaucoup et bonne journée ! :zen:

[Augustin]

Encore une question, je dois prouver que le point A(1/2;-1/4) est centre de symétrie...

J'ai vu sur le net une formule (f(a+x) + f(a-x))/2 mais je vois pas comment l'appliquer... quelqu'un peut-il m'éclairer sur ce point ?

Je me souviens d'un certain f(-x)=-f(x) ou changement de repère mais je vois pas ce que c'est...

Merci

[Benjamin]

Tu peux effectivement faire un changement de repère. Pour montrer que la foncion admet un 0'(a;b) comme centre de symétrie, il faut et il suffit de montrer que la fonction est impaire dans ce repère, c'est-à-dire que
F(x)=-F(-x) dans ce repère.

Pour faire un changement de repère : Soit f(x) la fonction dans le repère ON de base (centre O(0;0)).
Cette fonction a pour équation dans le repère ON de centre O' :
Y=F(x)=f(x+a)-b