Exercices maths spé : Divisibilité et congruences.

[jojo130194]

Bonjour à tous !

J'aurais besoin d'aide pour... 4 exercices en maths spé
Ils n'ont pas l'air spécialement long, mais je ne vois pas trop comment m'y prendre...
Je vous note les énoncés des exercices, suivis, à chaque fois, de ce que j'ai essayé de faire... :hein:

Exercice 1 :

Enoncé :

Expliquer comment, sans calcul, on peut savoir si le nombre 789 125 924 est oui ou non divisible par 4 ? Même question avec le nombre 5 798 436 638 ?
Montrez que l'entier naturel N = écrit en base 10 est divisible par 4 si et seulement si est divisible par 4.
Montrez que l'entier naturel N = écrit en base 10 est divisible par 4 si et seulement si est divisible par 4.
Enoncer un critère de divisibilité par 4.

Mes "réponses" :

Alors, pour la 1ère question, je pensais justement dire que ls nombres sont divisibles par 4 si leur deux derniers chiffres sont divisibles par 4, mais je ne sais pas si on peut le mettre, étant donné que c'est ce critère de divisibilité que l'on doit trouver à la fin de l'exercice ?
Ensuite, pour montrer que les deux entiers naturels N sont divisibles par 4 si leur deux derniers chiffres sont divisibles par 4, je ne vois pas trop comment faire... ? :hum:
J'ai une idée assez vague... , c'est a x 1000 + b * 100 + c * 10 + d
Or, 1000 = 250 x 4, donc 1000 est divisible par 4, donc a x 1000 est divisible par 4 pour a entier.
De même avec 100 = 25 x 4...
Et donc est tout le temps divisible par 4, donc est divisible par 4 si et seulement si est divisible par 4 ?
Mais en fait, je ne vois pas trop comment régider cela, enfin, si jamais c'est correct.
Et ensuite, comment généraliser pour ?
Et pour le critère de divisibilité, aucun problème, c'est celui que j'ai énoncé ci-dessus.

Exercice 2 :

Enoncé :

1. Montrez que, pour tout entier naturel n,
2. Utilisez le résultat précédent pour montrer que l'entier naturel N = écrit en base 10 est divisible par 9 si et seulement si est multiple de 9, autrement dit, montrez qu'un entier naturel est divisible par 9 si la somme de ses chiffres ( en base 10 ) est multiple de 9.

Mes "réponses" :

Eh bien, pour cet exercice... Je ne vois absolument pas comment faire... :mur:

Exercice 3 :

Enoncé :

1. Montrez que, pour tout entier naturel n,
2. Utilisez le résultat précédent pour montrer que l'entier naturel N = écrit en base 10 est divisible par 11 si et seulement si est multiple de 11, autrement dit, montrez qu'un entier naturel est divisible par 11 si la somme "alternée" de ses chiffres ( en base 10 ) est multiple de 11.
3. Vérifier avec ce critère si le nombre 245443145678910111213141516171819202122232425 est divisible par 11.
Quelle condition doit vérifier un nombre de n chiffres identiques pour que ce nombre soit divisible par 11 ?

Mes "réponses" :

Je ne vois pas non plus comment faire...
C'est un peu le même principe que l'exercice précédent, mais les deux congruences ont une puissance, donc je pense que c'est encore plus difficile...
Et je ne comprends pas non plus ce qu'ils veulent dire pas "somme alternée" de ses chiffres...

Exercice 4 :

Enoncé :

Déterminer le reste de la division euclidienne de par 13 suivant la valeur de l'entier naturel n. Enoncer une règle résumant les résultats obtenus.
Montrer que l'entier naturel N = écrit en base 10 est divisible par 13 si et seulement si 3a + 12b + 9c + 10d + e est divisible par 13.
Enoncer sans démonstration un critère de divisibilité par 13 d'un entier naturel de 6 chiffres ( en base 10 ), puis de 7 chiffres. Trouver le plus petit entier naturel dont tous les chiffres sont des 1 divisible par 13.

Mes "réponses" :

Alors, pour le début, j'ai trouvé que les restes étaient toujours, dans l'ordre, 1, 10, 9, 12, 3, et 4, puis le cycle recommence...
Par contre, je ne vois pas trop quelle règle énoncer pour résumer ces résultats ?
Ensuite, pour la question d'après, je ne vois pas ce qu'il faut faire, mais on constate que les chiffres données sont ceux que j'ai obtenu en tant que reste, SAUF le 4, qui n'apparait pas ? Est-ce normal ? Ou une erreur de ma part ?
Enfin, pour les deux dernières questions, je ne sais pas trop comment faire... :marteau:



Voila, merci à tous ceux qui prendront le temps de lire et de m'aider.

Bonne journée à tous !

[arnaud32]

1/
ton raisonnement est le bon en bas es 10 un nombre s'ecrit

donc en treme de congruence

or un nombre x est divisible par 4 ssi x=0 [4]
d'ou le resultat

2/indication


3/indication
10=11-1
et

[jojo130194]

Merci pour ta réponse, mais je n'ai pas compris du tout...
Peux-tu expliquer à quoi correspond le signe "somme", avec les lettres au-dessus et en-dessous, je n'ai jamais vu ça.

[arnaud32]

signifie Somme pour k allant de 0 a n

[jojo130194]

Merci, j'ai compris ce que cela signifiait, mais je n'ai toujours pas compris votre raisonnement précédent, pour le 1) ?

[arnaud32]

c'est le meme que celui que tu as fait pour abcd ...
tu vois que si tu enleves les derniers chiffres, tu as un nombre divisible par 100 qui est 25*4 ...

[jojo130194]

En fait je comprends le début, mais je ne comprends pas à partir de
"donc en terme de congruence" ?
D'ailleurs, il n'y a pas de congruence dans ce que tu as écrit ensuite, donc je suis un peu perdu.

[arnaud32]

comme tu te sert des congruances dans les autres exercices je pensais que tu connaissais.

a=b [c] ssi a= b+k*c

[jojo130194]

D'accord merci, mais on a pas encore vu cette propriété en fait.
Donc pour résumer :
N = , en base 10, c'est :
, c'est ça ?
Donc c'est , donc :
En base 10, N = = ?
Ainsi, on a :
N , d'où, d'après la propriété, N , et donc N est divisible par 4 si et seulement si est divisible par 4, donc si est divisible par 4.
Est-ce correct ?

[arnaud32]

c'et l'idee oui
apres tout est question de notation :-)

[jojo130194]

Ok merci :)
Sinon, pour l'exercice 2, on remarque que 9 + 1 = 10 ( Et dans le 3, pareil, 11 + (-1) = 10...
Alors je sais pas si c'est utile...
Mais je ne vois pas non plus comment avancer dans l'exercice 2... :marteau:

[arnaud32]

je t'ai donne des indications ... a toi de chercher un peu

[jojo130194]

Certes :lol3:

Donc, en partant de ce que j'ai dit juste au dessus, et en appliquant ta formule, je trouve :
, et donc j'en déduis que :
Comme est un multiple de 9, alors :
.
Voila, mais la je bloque, est-ce que je suis sur la bonne voie ?

[arnaud32]

x multiple de 9 ssi x=0[9]

[jojo130194]

Ok merci ! :lol3:

Je pense que c'est ok pour les exercices 1, 2, et 3 :we:

Cependant pour l'exercice 4 ?

Ce que j'ai fait dans mon 1er post, est-ce bon ?

Mais, dans la 2eme question, pourquoi ne trouve-t-on pas le "4" en coefficient ?

Merci d'avance.

[arnaud32]

le 4 marche un peu comme le 3 ... apres il faut differencier suivant les valeurs de n

[jojo130194]

Ok merci beaucoup :lol3: