Exercice sur une rampe d'accès tangente

par **HKatty** » 22 Déc 2011, 13:18

Une usine de produits chimiques dangereux souhaite faire construire une rampe inclinée en pente douce permettant à des chariots de franchir un dénivelé de 1m entre le sol et un quai.
Pour d'évidentes raisons de sécurité, cette rampe devra être tangente au sol au point A et tangente en B au niveau du sol du quai.
O est le projeté orthogonal de B sur le sol. Pour faciliter votre étude, on exprimera les coordonnées des points et les équations des courbes dans le repère orthonormal direct (O , C , B).

Dans un premier projet, on prévoit une emprise au sol de 2m, c'est à dire: OA = 2
1) Une rampe rectiligne peut-elle convenir? Pourquoi?
2) Une rampe formée d'un arc de parabole peut-elle convenir? Pourquoi?
3) Une rampe formée d'un arc de cercle peut-elle convenir? Pourquoi?
4) On décide de donner à la rampe un profil d'équation :
y = ax^3 + bx² + cx + d
Déterminer les réels a, b, c et d donnant la solution du problème. Quelle est la pente maximum de la rampe? En quel point l'obtient-on?

Merci d'avance, je vous souhaite à tous de bonne fêtes de fin d'année ! :happy2:

par **el niala** » 22 Déc 2011, 17:13

il me semble que tu n'as pas assez prêté attention à ceci :

Pour d'évidentes raisons de sécurité, cette rampe devra être tangente au sol au point A et tangente en B au niveau du sol du quai

ce qui signifie qu'en A et B la tangente à la courbe choisie doit être horizontale, soit si y=f(x) est la fonction représentant la courbe, tu dois avoir f'(0)=f'(2)=0

ce "détail" te permet de répondre correctement à 1), 2) et 3)

4) quelle est l'équation générale d'une parabole de sommet B ? de sommet A ?

par **geegee** » 22 Déc 2011, 18:29

Bonjour,

1 une pente linéaire ne peut pas convenir car il faut que la dérivé soit nulle initialement et au finale.
ce ne peut pas etre une ligne brisé car il y aurait des acous.
2 2) Une rampe formée d'un arc de parabole peut-elle convenir? Pourquoi car il n'y a pas d'acous et les dérivées peuvent valoir 0.
3) Une rampe formée d'un arc de cercle peut-elle convenir? Pourquoi pour les mem raison que précédements.

5 y = ax^3 + bx² + cx + d
f'(0)=0
f'(2)=0
f(0)=1
f(2)=0
f(x)=ax^3 + bx² + cx + d
a vous de raisoudre.

par **el niala** » 22 Déc 2011, 18:34

geegee a écrit:Bonjour,

1 une pente linéaire ne peut pas convenir car il faut que la dérivé soit nulle initialement et au finale.
ce ne peut pas etre une ligne brisé car il y aurait des acous.
2 2) Une rampe formée d'un arc de parabole peut-elle convenir? Pourquoi car il n'y a pas d'acous et les dérivées peuvent valoir 0.
3) Une rampe formée d'un arc de cercle peut-elle convenir? Pourquoi pour les mem raison que précédements.

5 y = ax^3 + bx² + cx + d
f'(0)=0
f'(2)=0
f(0)=1
f(2)=0
f(x)=ax^3 + bx² + cx + d
a vous de raisoudre.

Peut-être aurait-il été plus utile de la laisser un peu travailler avec les indications données précédemment non ?

par **HKatty** » 22 Déc 2011, 19:12

Pour moi l'équation générale d'une parabole de sommet B donne : y=1x² + 1
Et de sommet A me donne : y=0

par **el niala** » 22 Déc 2011, 19:22

Pour moi l'équation générale d'une parabole de sommet B donne : y=1x² + 1

pas tout à fait, c'est plutôt y=px²+1 avec p0

par **HKatty** » 22 Déc 2011, 20:05

Ah d'accord parce que j'ai remplacé p par (y-k)/(x-h)²
soit (0-1)/(1-0)² sachant que B(0;1) soit B(h;k) et I(1;0) soit I(x;y)
et de même pour p' avec A(2;0) et I(1;0)
mais que faire de p et p' ensuite car ça nous rajoute une inconnu alors qu'il faut trouver les réels a, b, c et d.

par **el niala** » 22 Déc 2011, 20:11

non, non, c'est plus simple, tu vas déterminer p et p' en remarquant que les 2 paraboles passent au point I d'abscisse 1 et y ont la même dérivée (puisque les 2 arcs y ont la même pente)

par **HKatty** » 23 Déc 2011, 11:42

On me demande de donner les équations des deux paraboles trouvées soit y=p'(x-2)² et y=px²+1
Mais je vois pas comment vérifier que la pente maximum est obtenue au point I

par **el niala** » 23 Déc 2011, 14:16

on reprend calmement :

au point I d'abscisse 1, les 2 fonctions doivent donner la même valeur :

y=p(1)²+1=p'(1-2)² p+1=p' (1)

et comme il n'y a pas de "rupture de pente", les dérivées doivent aussi être égales

y'(x)=2px => y'(1)=2p
y'(x)=2p'x-4p' => y'(1)=-2p'

tu en déduis que 2p=-2p' d'où en reportant dans (1) tu obtiens le résultat

et pour montrer que la pente est "maximale" (en valeur absolue) à cet endroit, considère l'expression de la dérivée sur les 2 intervalles [0,1] et [1,2]

par **HKatty** » 23 Déc 2011, 23:37

Alors j'ai repris calmement depuis le debut de la question 4 :

Equation de la parabole de sommet A(2;0) :
y=p'(x-2)² avec p'>0 car la parabole doit être tournée vers le haut

Equation de la parabole de sommet B(0;1)
y=px²+1 avec p<0 car la parabole doit être tournée vers le bas
Au point d'abcisse 1 les deux fonctions doivent donner la même valeur soir :
y=p'(x-2)²=px²+1 <=> p'=p+1

Et doivent avoir la même dérivé car tangente commune en I :
y=p'(x-2)² <=> y'(x)=2p'x-4p'
et y'(1) = -2p'

y=px²+1 <=> y'(x) = 2px
et y'(1) = 2p

Donc 2p=-2p'

mais les courbes utilisées étant ici des graphiques de fonctions décroissantes, les coefficients directeurs des tangentes sont donc négatifs, c'est à cause de cela que l'on prend comme "pente physique", la valeur absolue du coefficient directeur des tangentes!

Donc |2p|=|-2p'| <=> 2p=2p' donc les coordonnés de I sont I(1;2p)

Et j'ai ensuite fait un tableau de variation des fonctions dérivées et y'(x)=2px est croissante sur ]0;1] et y'(x)=2p'x-4p' est décroissante sur [1;2[

Ai-je bon ? Merci pour votre patience :)

par **el niala** » 23 Déc 2011, 23:55

mais les courbes utilisées étant ici des graphiques de fonctions décroissantes, les coefficients directeurs des tangentes sont donc négatifs, c'est à cause de cela que l'on prend comme "pente physique", la valeur absolue du coefficient directeur des tangentes!
Donc |2p|=|-2p'| 2p=2p' donc les coordonnés de I sont I(1;2p)

pourquoi diable reviens-tu à des valeurs absolues ? une pente est une valeur algébrique, elle est positive si on monte, négative si on descend -comme ici- !

tu aurais dû trouver avec les explications précédentes :

d'où une pente égale à -1 au point I(1,+1/2) et non pas I(1,2p) !

Et j'ai ensuite fait un tableau de variation des fonctions dérivées et y'(x)=2px est croissante sur ]0;1] et y'(x)=2p'x-4p' est décroissante sur [1;2[

non, p<0, y' est donc décroissante sur ]0,1[
et atteint donc une valeur minimale en x=1 (et donc maximale en valeur absolue puisqu'elle est négative)

par **HKatty** » 25 Déc 2011, 22:02

Ensuite je me suis attaquer à la question 5 donc le profil d'équation pour moi serai l'addition des deux équations de parabole :

Mais à la fin je trouve
y = 2ax²-4ax + 5
donc b=2a ; c=-4a et d=5
Mais je ne trouve pas le a ...

Joyeux Noël !! :)

par **el niala** » 25 Déc 2011, 22:17

Tout de fois je reste quand même bloqué sur le p = -p = -1/2 ... :/

comment peux-tu rester bloqué avec mes indications du 23.12 à 13:16 ?

le profil d'équation pour moi serai l'addition des deux équations de parabole :

non, ce ne peut pas être des paraboles, y est un polynôme du 3ème degré !

Mais à la fin je trouve
y = 2ax²-4ax + 5
donc b=2a ; c=-4a et d=5
Mais je ne trouve pas le a ...

geegee t'avait donné les pistes pour 5)

au point B, y(0)=+1 y(0)=a.(0)^3+b.(0)^2+c.(0)+d=1 d=+1

au point B, y'(0)=0 y'(0)=3a.(0)^2+2b.(0)+c=0 c=0

d'où y=ax^3+bx^2+2

au point A y(2)=0 et y'(2)=0
tu en déduis les valeurs de a et b

par **HKatty** » 26 Déc 2011, 13:20

Alors j'ai entamé l'équation :

Pour B y(0)=1 <=> d=1
y'(0)=0 <=> c=0

Pour A y(2)=0 <=> 8a+4b=0
y'(2)=0 <=> 8a+4b=0
J'ai fait la méthode de substitution et je trouve a=a et b=b soit a=0 et b=0 donc l'équation serait y=1 mais y=1 n'est pas une pente ! Mais une ligne droite .. Là je suis perdu j'ai beau tout faire ...

par **el niala** » 26 Déc 2011, 14:33

HKatty a écrit:Alors j'ai entamé l'équation :

Pour B y(0)=1 d=1
y'(0)=0 c=0

Pour A y(2)=0 8a+4b=0
y'(2)=0 8a+4b=0
J'ai fait la méthode de substitution et je trouve a=a et b=b soit a=0 et b=0 donc l'équation serait y=1 mais y=1 n'est pas une pente ! Mais une ligne droite .. Là je suis perdu j'ai beau tout faire ...

je viens de corriger mon post précédent (d=1 et non 2)

ensuite tu te trompes y=ax^3+bx^2+1 d'où y(2)=0 8a+4b+1=0
y'(x)=3ax²+2bx d'où y'(2)=0 12a+4b=0

et tu devrais trouver au final

par **HKatty** » 26 Déc 2011, 23:00

el niala a écrit:je viens de corriger mon post précédent (d=1 et non 2)

ensuite tu te trompes y=ax^3+bx^2+1 d'où y(2)=0 8a+4b+1=0
y'(x)=3ax²+2bx d'où y'(2)=0 12a+4b=0

et tu devrais trouver au final

Je vois que ça marche par système de 2 donc pour f(0) et f'(0) ça nous donne donc d=1 et c=0 mais pour le 2ème système je ne comprends pas ...

ça serait :
8a+4b+1=0
3ax²+2bx mais je vois pas pourquoi ça nous donne 12a+4b ...
Parce que si je multiplie 8 par 3 ça ne me donne pas 12 et 4*2 ne donne pas 4 non plus .. Et c'est la que je bloque dons mon système ...

par **el niala** » 26 Déc 2011, 23:05

3ax²+2bx mais je vois pas pourquoi ça nous donne 12a+4b ...

y'(2)=0, remplace donc x par 2 dans ton expression, tu verras 12a+4b

par **HKatty** » 26 Déc 2011, 23:09

el niala a écrit:y'(2)=0, remplace donc x par 2 dans ton expression, tu verras 12a+4b

Mais pourquoi c'est devenu x² et x, ou est le x^3 ?

par **el niala** » 27 Déc 2011, 14:22

HKatty a écrit:Mais pourquoi c'est devenu x² et x, ou est le x^3 ?

là ça devient grave :cry:

y(x)=ax^3+bx^2+cx+d => y'(x)=3ax^2+2bx+c

et tu sais qu'au point A d'abscisse 2, y(2)=y'(2)=0

Exercice sur une rampe d'accès tangente

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