Exercice de maths première ES sur les fonctions dérivées

[emilie96]

Bonjour, j'ai un exercice à faire que je n'arrive pas à résoudre, c'est pour ça que je vous demande votre aide, merci. Voici l'exercice en question :

Lors d'une épidémie observée sur une période de onze jours, un institut de veille sanitaire a modélisé l'évolution du nombre de malades par la formule suivante :

M(t) = - t (au cube) + [(21 t²) / (2)] + [(45 t) / (4)]

où t est le temps écoulé en jours depuis l'apparition des premiers malades et où M(t) est le nombre de milliers de malades à l'instant t. Cette formule est considérée comme correcte pour 0 < ou = t < ou = 11.
Vous arrondirez vos calculs au dixième de jour et au millier de malades près.

1. En étudiant les variations de M en fonction de t, montrer l'existence d'une phase de progression de la maladie suivie d'une phase de régression. Préciser la date à laquelle le nombre de malades est maximal et indiquer le nombre maximum de personnes atteintes.

2. On considère que la maladie est en phase épidémique lorsque le nombre de personnes atteintes dépasse 150 000 malades. En vous aidant de votre calculatrice, estimez les dates de débuts et de fin de la phase épidémique.

3. La maladie évolue plus ou moins vite en fonction du temps écoulé. La vitesse d'évolution de la maladie est égale à la dérivée M'(t). Elle s'exprime en millier de malades par jour.
a. Déterminer la vitesse d'évolution de la maladie au départ à l'apparition du premier malade.
b. Déterminer l'instant t auquel la vitesse d'évolution de la maladie est maximale. Combien vaut cette vitesse maximale ?



Merci d'avance pour votre aide.

[ampholyte]

Bonjour,

1. On te demande le sens de variation de la fonction M(t) = -t³ + 21t²/2 + 45t/4, donc il faut calculer la dérivée et faire le tableau de variation (cela te permettra de trouver le max). N'oublie pas que 0 <= t <= 11

2. Tu dois trouver les t tel que M(t) > 150 000, utilise ton tableau de variation et ta calculatrice

3. a) Il faut calculer M'(0)

b) Il faut résoudre M''(t) = 0 (dérivée de M'(t))

[emilie96]

Bonjour,

1. On te demande le sens de variation de la fonction M(t) = -t³ + 21t²/2 + 45t/4, donc il faut calculer la dérivée et faire le tableau de variation (cela te permettra de trouver le max). N'oublie pas que 0 150 000, utilise ton tableau de variation et ta calculatrice

3. a) Il faut calculer M'(0)

b) Il faut résoudre M''(t) = 0 (dérivée de M'(t))

Merci pour vos réponses aussi rapide. Pour la 3.b), comment fait-on pour calculer la dérivée d'une dérivée, on procède de la même manière que pour calculer la dérivée d'une fonction ?

[ampholyte]

Tout à fait, il suffit de procéder de la même manière

Exemple :

f(x) = 3x² + 2x - 5

f'(x) = 6x + 2

f''(x) = 6

Tout simplement :zen:

[emilie96]

Tout à fait, il suffit de procéder de la même manière

Exemple :

f(x) = 3x² + 2x - 5

f'(x) = 6x + 2

f''(x) = 6

Tout simplement :zen:

D'accord, j'ai compris. Merci de votre aide !