Exercice de géométrie plane seconde

[handie]

Bonjour
J'ai un exercice à faire pour la rentrée . J'ai avancé mais j'aurais besoin d'aide pour continuer. Qui peut m'aider??
Voici le sujet et mes recherches:

On considère un carré ABCD. Trouver l'ensemble des points M intérieurs au carré ABCD tels que l'aire du quadrilatère ABCM soit 3 fois celle du quadrilatère ADCM.

N'ayant pas de mesure, j'ai appelé a le côté du carré. J'ai tracé les parallèles à chacun des côtés du carré passant par M; J'ai appelé M1 l'intersection avec AB, M2 avec CB, M3 avec DC et M4 avec DA. L'aire de AMCB est donc constituée d'un triangle rectangle AMM1, d'un rectangle M1MM2B et d'un triangle rectangle M2MC. De même l'aire de ADCM est constituée d'un triangle rectangle AMM4, d'un rectangle M4MM3D et d'un triangle rectangle M3MC. Les triangles rectangles AMM1 et AMM4 ont la même aire. Les triangles M2MC et CMM3 ont la même aire, il suffit donc que l'aire du rectangle M1MM2B soit 3 fois plus grande que celle du rectangle M4MM3D. Si j'appelle x la mesure de M1B et y celle de BM2, j'obtiens xy= 3(a-x)(a-y) avec xMerci d'avance

[mathafou]

Bonjour,

j'obtiens xy= 3(a-x)(a-y) avec x<a et y<a. Mais ensuite je bloque

au point où tu en es, autant continuer, mais ta méthode est inutilement compliquée

Et si tu commençais par développer et simplifier cette équation ??
ensuite "voir" que x et y représentent en fait les coordonnées de M dans un certain repère que je te laisse définir (la flemme en fait de chercher à m'y retrouver dans tous tes calculs pour voir réellement à quoi correspondent x et y)

et cette équation traduit en fait exactement (en l'écrivant au final après simplification : y = fonction que de x) l'équation de la courbe qui est l'ensemble de tous les points M cherchés
sauf erreur cela devrait donner une simple droite (en seconde, ça devrait aller l'équation d'une droite !) dont quelques points remarquables permettent le tracé (deux suffisent pour tracer une droite)

ceci sauf erreur dans tes calculs que je n'ai pas vérifié, on verra bien au final.

[chan79]

Les triangles rectangles AMM1 et AMM4 ont la même aire. Les triangles M2MC et CMM3 ont la même aire, il suffit donc que l'aire du rectangle M1MM2B soit 3 fois plus grande que celle du rectangle M4MM3D.

salut
Ton raisonnement ne tient pas. Il faudrait que l'aire de AM1M soit égale au triple de l'aire de AMM4 et idem pour MM2C.
Tu peux exprimer en fonction de x et y les aires de MAB, MBC, MCD et MDA.

[mathafou]

Bonjour,

Ton raisonnement ne tient pas. Il faudrait que l'aire de AM1M soit égale au triple de l'aire de AM4 et idem pour MM2C.
Tu peux exprimer en fonction de x et y les aires de MAB, MBC, MCD et MDA.

mais tant qu'à refaire tout autant le faire simple !
on a déja :
la somme des aires des deux quadrilatères étant égale à celle du carré, on a instantanément la condition équivallente
aire de ABCM = 3/4 de celle du carré.

en appelant x et y les distances de M aux côtés AB et BC, l'aire de ABCM est la somme des aires des triangles ABM et ACM
aires qui s'expriment en fonction de la base (AB ou BC = a) et de la hauteur (x ou y)
cela donne "instantanément" l'équation en x et y et comme x et y sont en fait les coordonnées de M dans le repère d'origine B, c'est quasiment fini.

On peut aussi le démontrer de façon purement géométrique en découpant ABCM en le triangle ABC d'aire constamment égale à 1/2 de celle du carré et ACM
le triangle ACM doit donc avoir constamment une aire 3/4 - 1/2 = 1/4 de celle du carré
or sa base AC est fixe.
donc le point M se déplace sur une droite parallèle à AC (la hauteur est constante) dont une position particulière de M (sur AD par exemple) permet d'obtenir la distance à AC "sans aucun calcul".

[handie]

merci beaucoup. J'ai trouvé que les points M se trouvaient sur la droite d'équation
y= x+a/2.