Exercice fonction, exponentielle et logarithme népérien

[deadinsoul]

Bonjour voici l'exercice en question, j'aurais besoin d'une simple correction car je ne suis pas certain de mes réponses en parti pour les dérivée de g(x):

Soit ;) la fonction définie sur R par : ;)(x) = (x²+x+1)exp(-x) - 1

Partie A:

1a) Déterminer les limites de ;) en -oo et en +oo
b) Etudier le sens de variation de ;) puis dresser son tableau de variations sur R.

2) Démontrer que l'équation ;)(x)=0 admet deux solutions dans R, dont l'une dans l'intervalle [1;+oo[, qui sera noté a (alpha).
Déterminer un encadrement d'amplitude 10^-2 de a.

3) En déduire le signe de ;)(x) sur R et le présenter dans un tableau.

Partie B:

Sur la feuille annexe sont tracées les courbes représentatives de deux fonctions f et g.
Les fonctions f et g sont définie sur R par :
f(x) = (2x+1)exp(-x) g(x) = (2x+1)/(x²+x+1)

Leurs courbes représentatives dans un repère orthogonal (O, i, j) sont notées Cf et Cg.

1) Démontrer que les deux courbes passent par le point A de coordonnées (0;1) et admettent en ce point la même tangeante.

2a) Démontrer que, pour tout nombre réels x, f(x) - g(x) = ((2x+1);)(x))/(x²+x+1) où ;) est la fonction étudiée dans la Parti A.

b) A l'aide d'un tableau étudier le signe de f(x) - g(x) sur R

c) En déduire la position relative des courbes Cf et Cg

3) Montrer que la fonction h définie sur R par : h(x) = (-2x -3)exp(-x) -ln(x²+x+1)
est une primitive sur R de la fonction x-> f(x) - g(x)

Mes réponses:

Partie A:

1a)

pour x=>-oo:

lim x²+x+1 = lim x² = +oo
lim e(-x) = lim e(x) avec x=>+oo
=+oo
lim ;) = +oo * +oo -1 = +oo

pour x=>+oo

lim x²+x+1 = lim x² = +oo
lim e(-x) = lim 1/e(x) = 0

lim ;) = +oo * 0 -1 = -1

1b) ;)'(x) = (2x+1)*e(-x) + (x²+x+1)* -e(-x) = xe(-x) * (1-x)
;)'(x) = 0 <=> xe(-x) * (1-x) = 0
xe(-x)=0 ou 1-x = 0
x=0 ou x = 1

Tableau de variation:
x -oo 0 1 +oo
;)'(x) - 0 + 0 -
;)(x) down up down

2) ;)(x) = (x²+x+1)e(-x) - 1 = 0
<=> (x²+x+1)e(-x) = 1
1 * 1 = 1
x²+x+1=1 e(-x)=1
x²+x=0 1/e(x) = 1
x=0 e(x) = 1
x = ln(1) = 0


On sait d'après le tableau de variation que ;)(1)>0 et tend en -1 pour x tend en -oo, ;)(x)=0 admet donc une autre solution, alpha appartient a l'interval ]1;+oo[
;)(2) = -0,05
alpha appartient à ]1;2[
;)(1.5) = 0,6
;)(1.79) = 7,7 * 10^-4
;)(1.8) = -1 * 10^-3

alpha appartient à ]1,79 ; 1,8[

3)
;)(x)>0; x appartient à ]-oo ; 0[U]0 ; alpha[
;)(x)=0; x=0 et x=alpha
;)(x)<0; x appartient à ]alpha ; +oo[

Parti B:

1)f(0)=(2*0+1)e(0) = 1*1 = 1
g(0) = (2*0+1)/(0²+0+1) =1/1 = 1

Les 2 fonctions f et g admettent une image de 1 pour x=0, elles passent donc par le point a(0;1)

Dérivées:
f'(x) = 2 * e(-x) + (2x+1) * -e(-x) = e(-x) * (1 - 2x)
g'(x) = [2(x²+x+1) - (2x+1)(2x+1)]/(x²+x+1)² = (2x² + 2x + 2 - 4x² -4x -1)/(x²+x+1)²
= (-2x² -2x +1)/(x²+x+1)²

y=f'(0)(x-0)+f(0) = 1*x + 1 = x+1
y=g'(0)(x-0)+g(0) = 1*x + 1 = x+1

La tangeante au point d'abscisse 0 est bien la même pour les 2 fonctions.

2a) f(x) - g(x) = (2x+1)*e(-x) - (2x+1)/(x²+x+1)
= [(2xe(-x) + e(-x))(x²+x+1) - 2x - 1] / (x²+x+1)
=(2x^3e(-x) + 2x²e(-x) + 2xe(-x) + x²e(-x) +xe(-x) + e(-x) - 2x - 1)/(x²+x+1)
=[(2x+1)(x²e(-x) + xe(-x) + e(-x) - 1)]/(x²+x+1)
=[(2x+1)((x²+x+1)e(-x) - 1)/x²+x+1)
=[(2x+1);)(x)]/(x²+x+1)

2b) f(x)-g(x) = [(2x+1)((x²+x+1)e(-x) - 1)/x²+x+1)

x²+x+1 > 0 donc le signe de f(x)-g(x) ne dépend que du nominateur.

(2x+1);)(x)=0
2x+1=0 ou ;)(x)=0 D'après la question 2 de la Partie A x=0 ou x=alpha
x=-1/2

donc f(x)-g(x) = 0, pour x=-1/2 ou x=0 ou x=alpha

Je note d(x) la différence des 2 fonctions donc:
d(x)>0; x appartient à ]-1/2;0[U]0;alpha[ f(x) au dessus
d(x)=0; x = -1/2 ou x=0 ou x=alpha f(x) et g(x) colinéaire
d(x)<0; x appartient à ]-oo; -1/2[U]alpha; +oo[ g(x) au dessus

3)h'(x) = -2e(-x) + (-2x-3)*-e(-x) - (2x+1)/(x²+x+1)
= [(e(-x) +2xe(-x))(x²+x+1) -2x -1]/(x²+x+1)
=[2x^3e(-x) + 2x²e(-x) + 2xe(-x) + x²e(-x) +xe(-x) + e(-x) - 2x - 1]/(x²+x+1)
=[(2x+1)(x²e(-x) + xe(-x) + e(-x) - 1)]/(x²+x+1)
=[(2x+1)((x²+x+1)e(-x) - 1)/x²+x+1)
=[(2x+1);)(x)]/(x²+x+1)
= f(x)-g(x)

h(x) est donc une primitive de d(x).

Voila merci d'avance =D !

[deadinsoul]

Dans mes résolutions d'équations comme la question 2 Partie A il faut imaginer des espaces entre les solutions qui ont malheureusement disparu

[st00pid_n00b]

Ça a l'air tout bon à part quelques détails. La dérivée de g est ok.

A)2) Ton 1 * 1 = 1 ressemble à du pifomètre. Tu aurais pu aussi écrire 1/2 * 2 = 1.
Dans ton tableau de variations tu as du mettre les valeurs de ;)(0) et ;)(1) donc tu sais déjà que ;)(0)=0.

Pour montrer que ;)(1) > 0 on peut donner une valeur approchée grâce à la calculette mais c'est plus classe de le démontrer:
;)(1) = 3/e - 1
Or e < 3 donc ...

Précise aussi que ;) est continue et que tu utilises le théorème des valeurs intermédiaires.

B)2b) On dit "numérateur" :)

f(x) est un nombre, Cf est une courbe. On dit Cf est au dessus de Cg, ou bien f(x) > g(x), mais pas f(x) est au dessus.

"Colinéaire" n'a pas de sens pour des fonctions. Dis simplement que f(x) = g(x) ou que les courbes ont un point commun.