Devoir maison sur les suites (exercice difficile)

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lasute
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Devoir maison sur les suites (exercice difficile)

par lasute » 15 Avr 2009, 17:50

Bonjour, j'aurais souhaité obtenir un peu d'aide pour un exercice sur lequel je bloque.

Exercice:

Un club de sport propose deux types d’abonnements non permutables.

Formule A : une cotisation annuelle 75€ à laquelle s’ajoute la première année seulement un doit d’entrée de 1500€.

Formule B : une cotisation annuelle initiale de 150€ qui augmente de 10% par an. Dès la seconde année, pour fidéliser la clientèle, on effectue une réduction de 7.5€ sur la cotisation annuelle. Si Cn(n=indice de suite) est le montant, exprimé en euros , de la cotisation annuelle de n-ième année, on a C1=150 et, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, C(n+1)=1,1 Cn-7,5.

1. Déterminer la somme Tn versée au club de sport par membre pendant n années avec la formule A.
2. Soit (Dn) la suite définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par Dn=Cn+a, où a est un réel. Déterminer le réel a pour que la suite (Dn) soit une suite géométrique de raison 1,1 et préciser le terme initial de la suite.
3. On suppose dans cette question que a=-75.
a. Exprimer Dn puis Cn en fonction de n.
b. Soit Sn la somme versée au club par un membre pendant n années avec la formule B.
Montrer que : Sn=750[(1,1)^n-1] +75n.
c. Quel nombre minimum d’années un membre doit-il cotiser pour que la formule A soit plus avantageuse que la formule B.

Merci d'avance pour votre réponse.



lasute
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par lasute » 15 Avr 2009, 17:53

Tout d'abord pour la première question j'avais pensé mettre que
On sait que la formule A propose une cotisation annuelle de 75 € à laquelle s'ajoute la première année seulement un droit d'entrée de 1500€.
D'où Tn=75n+1500.

lasute
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par lasute » 15 Avr 2009, 18:13

Ensuite pour la 2ème j'avais pensé mettre:

Dn=D1*q^n
Or (Dn) est une suite géométrique de raison 1,1.
D'où 1.1^n=Dn/D1
On sait que C1=150 et que Cn+1=1,1Cn-7,5
D'où C2=1,1*C1-7.5=157,5
On sait que Dn=Cn+a, que C1=150 et que C2=157,5
Donc D1=150+a et D2=157,5+a
D2/D1=1,1²=1,21
157,5+a=1,21*(150+a)
157,5-1,21*150=a*(1,21-1)
0,21*a=-24
a=-24/0,21

est ce que c'est bon pour les deux questions ou pas??
merci pour votre réponse

lasute
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par lasute » 15 Avr 2009, 18:18

par contre pour la question 2 si ce que j'ai mis est bon est ce qu'il faut ou pas mettre la suite géométrique (Dn) ou juste calculer a??

Huppasacee
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par Huppasacee » 16 Avr 2009, 01:10

Bonjour

L'expression de Tn est exacte

Pour Dn et a :

Tu exprimes en fonction de

et en fonction de


et tu remplaces dans la relation :

C(n+1)=1,1 Cn-7,5


Tu auras donc une relation avec , et a


or , quelle est la relation entre 2 termes successifs d'une suite géométrique ?

tu auras donc une équation avec a à résoudre

lasute
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par lasute » 16 Avr 2009, 13:34

Bonjour, et donc ma réponse est pas bonne ??
et en faisant que tu le dis j'obtiens alors:
Dn=Cn+a
D'où Cn=Dn-a <=> C(n+1)=D(n+1)-a

C(n+1)=1,1Cn-7,5
D'où C(n+1)=1,1*(Dn-a)-7,5
C(n+1)=1,1Dn-1,1a-7,5
D(n+1)-a=1,1Dn-1,1a-7,5
D(n+1)=1,1Dn-0,1a-7,5

Est ce que c'est bon jusque là ??
Par contre par la suite je ne vois pas comment faire pour arriver a trouver a a partir de ça, et pour la relation est ce que c'est pour une suite géométrique (un): Si q(raison) est différent de 1 alors Sn=uo(terme initial)* 1-q^n+1/1-q
est ce que c'est la bonne relation ? parce que si c'est la bonne je ne vois pas comment réussir à trouver et à placer a avec celle-ci.

lasute
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par lasute » 17 Avr 2009, 14:01

Est ce que c'est bon ou pas ce que j'ai mis???

Huppasacee
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par Huppasacee » 17 Avr 2009, 15:29

Re

D(n+1)=1,1Dn-0,1a-7,5


donc , pour que Dn soit une suite géométrique , que faut-il ?

lasute
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par lasute » 17 Avr 2009, 15:34

Bonjour,il faut que D(n+1)=q(raison)*Dn ??

lasute
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par lasute » 17 Avr 2009, 15:53

ou alors c'est Dn=D0(terme initial)*q^n

Huppasacee
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par Huppasacee » 17 Avr 2009, 15:57

D(n+1)=1,1Dn-0,1a-7,5


je répète , que faut il comme condition , dans la relation ci dessus citée , pour que Dn vérifie la relation de récurrence d'une suite géométrique ?

lasute
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par lasute » 17 Avr 2009, 16:14

Je vais probablement dire une bêtise si je dis que la condition pour que Dn vérifie la relation de récurrence d'une suite géométrique c'est que -0,1a-7,5 est égal à 0???

Huppasacee
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par Huppasacee » 17 Avr 2009, 16:34

Il faut la dire , cette bêtise !

lasute
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par lasute » 17 Avr 2009, 16:38

Huppasacee a écrit:Il faut la dire , cette bêtise !


Cela veut dire que c'est bon ??

lasute
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par lasute » 17 Avr 2009, 16:41

et donc a=7.5/-0.1=-75

Huppasacee
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par Huppasacee » 17 Avr 2009, 16:45

et cela correspond à la suite de l'exercice ! ( a = -75 )

lasute
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par lasute » 17 Avr 2009, 16:48

oui je viens de capter ça ^^
et donc pour le terme initial:
a=-75
Or Dn=Cn+a
D'où D1=C1-75=150-75=75
est ce que c'est bon si je met ça ??

lasute
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par lasute » 17 Avr 2009, 16:56

Et donc pour la question 3.a:
On sait que (Dn) est une suite géométrique D'où Dn=D1*q^n=75*1.1^n
Donc Dn=82.5^n
est ce que c'est bon si je met ça??

Huppasacee
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par Huppasacee » 17 Avr 2009, 16:57

Oui ,

ce sera donc une suite géométrique de raison 1,1 , car , et de premier terme = -75

lasute
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par lasute » 17 Avr 2009, 17:00

Par contre je ne vois pas comment exprimer Cn en fonction de n
??

 

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