Déterminer un polynôme à partir de racines

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Anonyme

Déterminer un polynôme à partir de racines

par Anonyme » 08 Sep 2010, 15:21

Bonjour à tous ! J'ai un petit exercice de Mathématiques à faire, mais je n'arrive pas à trouver la bonne solution...

Je dois déterminer un polynôme P du troisième degré tel que , , , .

Pour commencer à résoudre ce problème, j'ai posé un polynôme du troisième degré avec 4 inconnues : a, b, c et d.
D'où :

Grâce aux hypothèses, j'ai pu déjà déduire le système suivant :


Connaissant d, j'ai arrangé mon système :


Je calcule b en "fusionnant" les deuxième et quatrième lignes :



Connaissant b et d, je tombe alors sur un simple système à deux inconnues :









Là, je trouve et
Malheureusement, ces résultats ne concordent pas avec l'énoncé, et je ne vois pas où j'ai commis une erreur.

Je vous remercie pour votre attention ! ;)



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Ericovitchi
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par Ericovitchi » 08 Sep 2010, 15:40

pourquoi fixer dès le début d=1 ça ne te donne pas forcement le polynôme le plus simple ?
(par exemple le plus simple que j'ai trouvé c'est tout simplement P(x)=x-1 , il n'est pas de degré 3 mais c'est le plus simple).


Sinon ton erreur est quand tu calcules -b-3, tu dis que c'est -5 or vu que b=-2, -b-3= -1 et pas -5

Nightmare
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par Nightmare » 08 Sep 2010, 15:44

Salut !

Ericovitchi a écrit:(par exemple le plus simple que j'ai trouvé c'est tout simplement P(x)=x-1 , il n'est pas de degré 3 mais c'est le plus simple).


P(0)=-1 :lol3:

Anonyme

par Anonyme » 08 Sep 2010, 15:47

Bonjour et merci de ta réponse !

Je pensais que d était forcément égal à 1 puisque P(0)=1, mais peut-être me suis-je trompé.
J'ai corrigé mon erreur et je tombe sur le polynôme suivant qui fonctionne avec l'énoncé :

Merci beaucoup Ericovitchi !

Nightmare
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par Nightmare » 08 Sep 2010, 15:50

Pour effectuer l'exercice plus rapidement, on peut essayer de voir si l'on ne peut pas réduire le nombre d'inconnue.

En l'occurrence ici, le fait que P(0)=1 permet effectivement de déterminer directement le monôme constant, et en outre, la donnée P(1)=0 permet alors de dire que le polynôme va s'écrire sous la forme (X-1)(aX²+bX-1). Il ne reste plus que deux inconnues.

Anonyme

par Anonyme » 08 Sep 2010, 15:52

Bonjour Nightmare !

Cette seconde solution semble effectivement plus simple (au niveau de la résolution). Je n'avais pas du tout pensé à écrire le polynôme ainsi factorisé. Merci pour cette alternative !

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Ericovitchi
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par Ericovitchi » 08 Sep 2010, 15:59

ha oui excusez moi je n'avais pas vu la première ligne P(0)=1

 

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