Démonstration de formule TRES URGENT...
Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
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krokos55
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par krokos55 » 30 Avr 2006, 12:39
Bonjour j'aimerais vraiment que quelqu'un me donne un petit coup de mains pour m'aider à démontrer la formule de poincaré sur les probabilités
Soit (A1.....An) des événements,
n
P (U Ak)= Sigma(((-1)exposant (k-1))*Sk)
k=1
avec Sk= SIGMA (P(Ai1 inter Ai2 inter..... inter Aik))
1
PS ("<" signifie inferieur ou égale)
Le but est de démontrer cette formule par réccurence
dans un second temps voici une application de la formule ci dessus...
" Quatres couples mariés vont au bal. Les couples de danceurs se forment au hasard
telle sorte que chaque cavalier a la meme probabilité de danser avec nimporte quelle
cavalière. Quelle est la probabilité pour quau moins un mari danse avec sa propre
femme ?
Dans un second temps considérons n couples qui vont au bal.
Merci beaucoup par avance.
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Frangine
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par Frangine » 30 Avr 2006, 13:06
bonjour,
Je ne dois pas être la seule à n'avoir rien compris à ce que tu as écrit.
Relis et essaye de te mettre à la place de quelqu'un qui ne connait pas le sujet.
Il n'y a pas grand chose d'utilisable pour t'aider non ?
Précise aussi ta classe pour qu'on te réponde de façon pertinente
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krokos55
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par krokos55 » 02 Mai 2006, 18:16
je suis désolé c'est vrai c'est pas très comprehensible...mais je ne trouve pas de caracteres pour les signes mathématiques.
Si j'essaye de traduire la formule en francais cela donnerait
La somme de l'union des événements A1 ... An est égale a la somme des (-1)exposant (k-1) fois la somme de l'intersection de 1 a n des évenements Ak
Pour ma part , je suis en terminale S.
Pour la formule à démontrer, il est possible de la trouver sur internet sous le nom de formule de Poincaré sur les probabilités.Enfin, l'exercice proposé est une application de la formule.
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Touriste
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par Touriste » 02 Mai 2006, 19:17
Bonjour,
La difficulté est de montrer cette formule pour n=2. Elle s'écrit alors :
=P(A) + P(B) -P(A \cap B))
.
Pour la prouver, on écrit A et B comme réunion disjointe d'événements. Plus précisément,
) \cup (A \cap B))
, donc
=P(A \setminus (A \cap B)) +P(A \cap B))
. De même,
=P(B \setminus (A \cap B)) +P(A \cap B))
. En sommant, il vient alors
+P(B)=P(A \setminus (A \cap B))+P(B \setminus (A \cap B)) +2P(A \cap B))
. Mais
)
et
)
sont des événements disjoints donc
)+P(B \setminus (A \cap B))=P((A\cup B) \setminus (A \cap B))=P(A \cup B)-P(A \cap B))
par le même argument que plus haut.
Tu as tous les éléments pour faire ta preuve.
Bon courage et fais signe si tu bloques !
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krokos55
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par krokos55 » 02 Mai 2006, 20:20
je comprend tout à fait ce que tu as fais je lavais dailleurs fais mais c'est l'hérédité de la reccurence que j'arrive pas et puis aussi je visualise pas bien la resolution de l'exercice qui permet d'appliquer la formule.
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Touriste
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par Touriste » 02 Mai 2006, 21:05
krokos55 a écrit:je comprend tout à fait ce que tu as fais je lavais dailleurs fais mais c'est l'hérédité de la reccurence que j'arrive pas
Pour passer de n à n+1, voici les étapes
=P((\bigcup_{i=1}^{n} A_i)\cup A_{n+1})<br />= P(\bigcup_{i=1}^{n} A_i)+P(A_{n+1})- P((\bigcup_{i=1}^{n} A_i)\cap A_{n+1}))
d'après le cas
.
Ensuite, tu réécris le premier terme en utilisant ton hypothèse de récurrence. Pour le dernier,
\cap A_{n+1})=P(\bigcup_{i=1}^{n} (A_i\cap A_{n+1})))
et on applique à nouveau l'hypothèse de récurrence.
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krokos55
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par krokos55 » 03 Mai 2006, 07:36
merco beaucoup !!
Enfin si tu as le temps..est ce que tu peux regarder l'exercice proposé qui applique la formule de poincaré stp ?
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Zebulon
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par Zebulon » 03 Mai 2006, 09:43
krokos55 a écrit:merci beaucoup !!
Enfin si tu as le temps..est ce que tu peux regarder l'exercice proposé qui applique la formule de poincaré stp ?
Bonjour,
pour cet exercice, le tout est de déterminer ce que sont les évènements
et
. J'avais l'idée de dire
est l'évènement : le cavalier i danse avec la femme j et
. On veut alors bien calculer
)
. Le problème est qu'en voulant appliquer la formule, on a alors
)
... Ca ne marche pas car on trouve
=0)
.
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yos
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par yos » 03 Mai 2006, 11:14
Pour l'exercice, il y a 24 associations possibles équiprobables des danseurs/euses dont 9 sont favorables à ton événement. D'où la probabilité.
Passer par la formule de Poincaré pour ça est pathétique.
Demander à des élèves de terminale S de prouver la formule de Poincaré est encore bien plus grave.
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Zebulon
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par Zebulon » 03 Mai 2006, 11:18
yos a écrit:Passer par la formule de Poincaré pour ça est pathétique.
Demander à des élèves de terminale S de prouver la formule de Poincaré est encore bien plus grave.
Je suis tout à fait d'accord. Je ne vois pas l'intérêt d'utiliser la formule de Poincaré pour cela. Le prof croit peut-être faire faire de "vraies maths" comme ça...
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mln
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par mln » 03 Mai 2006, 11:36
Bonjour,
Si on on pose
, l'évenement "la femme et le mari du couple k danse ensemble".
Posons A, l'évenement "la femme et le mari d'au moins un couple dansent ensemble"
 = \frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n})
 = \frac{(n-2)!}{n!} = \frac{1}{n(n-1)})
 = \frac{1}{n!})
Donc d'après la formule de Poincaré :
 = C_{n}^1\ \frac{1}{n} - C_{n}^2\ \frac{1}{n(n-1)}+...+ (-1)^{n+1} C_{n}^n\ \frac{1}{n!})
Donc
 = \sum_{i=1}^n\ \frac{(-1)^{i+1}}{i!})
(
 = 1-e^{-1})
)
C'est pas un sujet de term
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Zebulon
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par Zebulon » 03 Mai 2006, 11:41
Dans la formule de Poincaré, y a-t-il des ka parmi n? Il n'y en a pas dans la formule donnée par Krokos55. En fait, j'avais alors posé les bons évènements.
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mln
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par mln » 03 Mai 2006, 12:02
En fait, je développe la formule et je compte le nombre d'éléments :
 = \sum_{i=1}^{n}P(A_i)-\sum_{1\leq i<j\leq n}P(A_i\cap A_{j})+...+(-1)^{n+1}P(\bigcap_{i=1}^{n}A_i))
 = P(A_1)(\sum_{i=1}^{n}\ 1)\ -\ P(A_1\cap A_{2})(\sum_{1\leq i<j\leq n}\ 1)\ +...+(-1)^{n+1}P(\bigcap_{i=1}^{n}A_i))
c'est comme çà qu'apparaissent les
:
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Zebulon
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par Zebulon » 03 Mai 2006, 13:08
Ok merci bien!
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krokos55
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par krokos55 » 03 Mai 2006, 19:56
mln a écrit:C'est pas un sujet de term
c'est un sujet de quoi ?
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yos
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par yos » 03 Mai 2006, 20:32
La formule de Poincaré n'a rien de difficile mais les notations posent trop de problèmes en terminale.
Ce qui peut être intéressant en TS c'est de regarder les cas n=3 et à la rigueur n=4 (qui correspond à ton exo).
n=3 :
=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(B\cap C)-P(C\cap A)+P(A\cap B\cap C))
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krokos55
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par krokos55 » 03 Mai 2006, 20:40
je comprend bien ton point de vu yos, c'est vrai que c'est pas evident ! mais bon je dois la démontrer par récurrence... d'ailleurs est - ce que tu pourrais m'aider pour la phase d'hérédité s'il te plait...
merci ...
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yos
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par yos » 03 Mai 2006, 21:30
Ben touriste l'a fait
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krokos55
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par krokos55 » 03 Mai 2006, 22:29
[QUOTE
Ensuite, tu réécris le premier terme en utilisant ton hypothèse de récurrence. Pour le dernier,
et on applique à nouveau l'hypothèse de récurrence.[/quote]
est il possible d'expliciter cette partie la svp...
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Touriste
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par Touriste » 03 Mai 2006, 22:53
Ton hypothèse de récurrence, c'est : pour toute famille
)
de n événements, on a
=)
horrible somme que je ne réécris pas ici. Tu appliques cette hypothèse avec
pour chaque i. C'est plus clair comme ça ?
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