Calculer les angles et l'aire avec les relations d'Al-Kashi

[Emel-ii-nee]

Bonjour à tous.
Je rencontre un nouveau problème lors de la résolution d'un exercice.
Voilà l'énoncé :

ABC est un triangle tel que : AB = 7 ; BC = 8 et AC = 10.
1°) Calculer les angles du triangle ABC. (On donnera des valeurs approchées à 1 décimale.)
2°) Calculer l'aire du triangle ABC.

Le théorème d'Al-Kashi dit que..

*- a² = b² + c² - 2bc cos A
*- b² = a² + c² - 2ac cos B
*- c² = a² + b² - 2ab cos C


Je suis pourtant persuadée que cet exercice n'est pas si difficile que ça, mais je ne sais ni comment débuter, ni comment m'y prendre..

Merci d'avance.

[Nightmare]

Salut,

Tu as donc par exemple d'après Al-Kashi :

7²=8²+10²+cos(ACB), ce qui te permet de trouver le cosinus de l'angle ACB puis l'angle ACB avec ta calculatrice. Même chose pour les autres !

[Emel-ii-nee]

Donc si j'ai bien compris :

1°) Sachant que a² = b² + c² - 2bc cos A
On a 7² = 8² + 10² - 2(8*10) * cos A
d'où cos A = (8² + 10² - 7²) / (2*8*10) = 0.72
Donc A = 43,9 °

??

Est-ce bien cette démarche qu'il faut suivre ?
Si c'est la bonne démarche, je ferais la même chose avec les angles B et C dans ce cas.

Merci.

[Ben314]

Oui, c'est bien la méthode attendu.

Ensuite, personellement, je te conseillerais aussi de tracer un tel triangle (en utilisant une règle graduée et un compas) et de vérifier avec un raporteur que ce que tu trouve est assez correct. Mais ce n'est pas obligatoire (mais je le conseillerais quand même,... mais c'est pas obligé,... mais c'est mieux...)

[Emel-ii-nee]

D'accord.
Dans ce cas, B = 52,4°
et C = 83,1°.

Ensuite, Je ne vois vraiment pas comment faire la 2°) . . :(

[ned aero]

salut,

regarde ici, l'aire fait partie du cours...

http://mathscyr.free.fr/themes/produitscalaire/ProduitscalaireCOURS/produitscalaireapplications.htm

[Emel-ii-nee]

J’ai commencé la question, et je pense avoir trouvé la solution, mais je ne suis pas sûr du tout…

En utilisant la formule de Heron d'Alexandrie, on peut calculer l’aire d’un triangle en connaissant la longueur de ses cotés, sans utiliser la hauteur.
Soit, dans un triangle quelconque ayant pour longueurs des cotés a, b et c.
Avec le demi-périmètre, p = (a+b+c)/2
Et Aire = racine de [p (p-a) (p-b) (p-c)]
Dans notre cas, p = (7+8+10) / 2 = 25/2 soit 12,5
Et Aire = racine de [12,5 (12,5-7) (12,5-8) (12,5-10)]
Aire = 12,5 * 5,5 * 4,5 * 2,5 = 773

Mais je trouve ce résultat un peu bizarre.

En cherchant un peu sur internet, j’ai trouvé que :

- Si on connait la base et la hauteur, on utilise: Aire = (base*hauteur)/2
- Si on connait la longueur de deux côtés du triangle et la mesure de l'angle adjacent à ses deux côtés, on utilise : S = 1/2ab * sinC = 1/2bc * sinA = 1/2ca * sinB
- Si on connait la longueur d'un côté et les mesures de ses deux angles adjacents, on utilise : S = (a² * sinB * sinC) / (2 * sin (B+C))
- Enfi, si on connait les trois longueurs du triangle, on utilise : S = racine de [p (p-a) (p-b) (p-c)] ; avec p le demi-périmètre (c'est-à-dire 2p = a + b +c)


Je ne sais vraiment pas comment m'y prendre pour cette question..

[Emel-ii-nee]

Désolée pour la faute d'inatention.
Cela donne :
Aire = 27,8. (Beaucoup mieux ! ^^)

[valbo10]

euh vous aurez pu eviter de metre votre problem sur mon message sais pas tres cool surtout que sais pas le meme problem et apres moi on oublier le mien donc tu aurez pu faire une nouvelle discution