Logarithme népérien et autres...

Nightmare

Bon alors partons de la notion de primitive.

La plupart des fonctions usuelles ont des primitives aussi usuelles.

La fonction carré x->x² a pour primitive par exemple
La fonction cosinus x->cos(x) a pour pour primitive par exemple x->sin(x).

La fonction a pour primitive par exemple

Question, qu'a-t-on comme primitives pour la fonction inverse ?

Il s'avère qu'on ne connaissait pas de fonctions usuelles qui nous permettait d'écrire les primitives de la fonction inverse.
On a donc inventé une fonction, la fonction logarithme népérien, qui est une primitive de la fonction inverse. En particulier c'est la primitive qui s'annule en 1.

Ln est donc définie par :

Les problèmes de domaines de la fonction inverses (elle n'est pas définie en 0) fait que ln n'est défnie que sur ]0;+oo[. (La fonction inverse est bien continue sur ce domaine et admet donc des primitives, pas de soucis par conséquent pour l'existence de cette fonction ln).

Après l'avoir définie, on a découvert plein de propriétés assez sympathique. Par exemple, ln "transforme" la multiplication en une addition.
c'est à dire que si l'on prend deux réels positifs a et b , ln(a*b)=ln(a)+ln(b)
De même elle transforme l'inverse en l'opposé : ln(1/a)=-ln(a)
bref, tu trouveras toutes ces propriétés dites de "morphisme" dans un cours détaillé.

Ln peut aussi se définir comme la fonction réciproque de la fonction exponentielle, mais vu que tu n'as pas vu cette dernière, je ne vais pas t'en parler.

Pour revenir aux propriétés de ln : c'est une fonction croissante. Ses limites en -oo et +oo sont respectivement 0 et +oo.
Par continuité, ln va donc prendre un jour ou l'autre la valeur 1. On a "décidé" (je mets entre guillemet car historiquement ce n'est pas comme ça que ça s'est passé) que ln prendrait la valeur 1 en un nombre e, dit nombre d'Euler.
Ainsi ln(e)=1.
On dit aussi que e est la base du logarithme népérien.

Pour en revenir au base, log c'est un autre logarithme, appelé logarithme décimal. Cette fois-ci, log est de base 10, c'est à dire que log(10)=1.

On peut définir log en fonction de ln : Pour tout x positif, (Ce qui corrobore bien le résultat log(10)=1).

Voila, j'espère avoir répondu à tes questions. Si tu en as d'autre n'hésite pas.