Loi log-normale: un petit problème...

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Posted by: Tyutyu

Voici le problème sur lequel je me casse les dents depuis quelques temps.
J'ai essayé, pour le clarifier le plus possible, de le formuler sous la forme d'un petit problème dont voici les questions:


Soit une loi log-normale, donc d'équation classique:

f(v)=1/(s*sqrt(2*Pi))*(1/v)*exp[-0.5*((log(v)-m)/s)^2]

-Question préliminaire:

Quel lien y a-t-il entre les paramètres m et s de l'équation et les paramètres "graphiques" mu (correspondant à l'abscisse du maximum de la courbe) et sigma (paramètre influençant "l'ouverture" de la bosse de la courbe)?

-Question 1: Application de la question préliminaire

Quelles valeurs faut il donner à m et à s dans l'équation de la loin pour obtenir une courbe dont l'abscisse du maximum vaut 82 (ie mu=82) avec sigma=1.2

-Question 2:

On effectue le changement de variable v'=1000*v dans la fonction ci-dessus.
Quelle influence cela a-t-il sur les paramètres m et s de l'équation (et donc sur sigma et mu). Comment calculer ces nouveaux paramètres m et s.

-Question 3: application de la Question 2

Trouver les nouveaux paramètres m et s adéquats à injecter dans la loi log-normale pour passer d'une courbe dont le maximum est centré sur v=0.082 ie mu=0.082 (et avec sigma=1.2) à une courbe dont le maximum est centré sur 82 (ie mu=82).

Merci de vos réponses précises et détaillées!

Cordialement,

tyu


Posted by: Tyutyu

Hum ça n'a pas l'air d'insiprer grand monde tout ça..........


Posted by: palmade

Il ne faut pas oublier que si V suit une loi log-normale, logV suit une loi normale, donc le maximum de la densité sera obtenu pour logv=m. Je n'ai pas bien compris ce qu'était sigma, mais là encore, il doit falloir relier ça à la bosse de la loi normale.
Un changement de variable dans un rapport de 1000 doit décaler m de 3 et laisser s inchangé...


Posted by: Non inscrit

Bon je vois que tout le monde reste sec sur les lois log-normales!
Je vais aller poster sur www.lesmathematiques.net, là au moins y a de vrais matheux qui taquinent!


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par Tyutyu
Quel lien y a-t-il entre les paramètres m et s de l'équation et les paramètres "graphiques" mu (correspondant à l'abscisse du maximum de la courbe) et sigma (paramètre influençant "l'ouverture" de la bosse de la courbe)?

La moyenne d'une telle variable aléatoire est donnée par la formule :

\LARGE Moy = e^{m+\frac{s^2}{2}}
Elle est différente de ce que tu as appelé mu :
\LARGE mu=e^{m-s^2}

Quant à ce que tu appelé sigma, le "paramètre influençant "l'ouverture" de la bosse de la courbe", je suppose qu'il s'agit de l'écart-type, égal à la racine carrée de la variance. La variance est :

\LARGE V=e^{2m+s^2} * (e^{s^2}-1)
Donc \LARGE sigma=\sqrt{V}=e^{m+\frac{s^2}{2}} * \sqrt{e^{s^2}-1}
Citation:
Posté par Tyutyu
Quelles valeurs faut il donner à m et à s dans l'équation de la loin pour obtenir une courbe dont l'abscisse du maximum vaut 82 (ie mu=82) avec sigma=1.2

Cette distinction entre Moy, la moyenne, et mu, l'abscisse du maximum de la courbe n'est pas innocente. En effet, si tu connais mu et sigma, en posant :
\LARGE A=e^m et \LARGE B=e^{\frac{s^2}{2}}, tu peux écrire :
\LARGE mu=\frac{A}{B^2} et \LARGE sigma=AB(B^2-1)
d'où tu peux extraire une équation sur B : \LARGE sigma=mu*B^3*(B^2-1)
équation de degré 5 qui ne peut être résolue que numériquement, par approximations successives (sur ordinateur, p.ex.)

Par contre, si tu connais Moy et sigma, la même opération conduit à l'équation \LARGE sigma=Moy*(B^2-1), qui se résoud instantanément.
Citation:
Posté par Tyutyu
Trouver les nouveaux paramètres m et s adéquats à injecter dans la loi log-normale pour passer d'une courbe dont le maximum est centré sur v=0.082 ie mu=0.082 (et avec sigma=1.2) à une courbe dont le maximum est centré sur 82 (ie mu=82).

Ben ça, je pense que désormais, tu sais le faire...










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