Limites toute bete en plus l'infini

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Posted by: polo

Bonjour,

1) Pourquoi a t-on

ln( ch(n)/(e^n/2) )
------------------- tend vers 0 quand n tend vers +infini
ln( e^n/2 )


2) Pourquoi

ln(ln(n)) - ln(ln(n+1)) + 1/[(n+1)ln(n+1)] = O(1/[n^2ln(n)])

Je dirai n+1 est equivalent a n et donc que c'est un grand O de 1/[n*ln(n)]
Je me trompes?





Posted by: Denis

Le 29/10/03 21:25 , polo a exprimé son opinion en les termes suivants:

> Bonjour,

Bonjour,

> 1) Pourquoi a t-on
>
> ln( ch(n)/(e^n/2) )
> ------------------- tend vers 0 quand n tend vers +infini
> ln( e^n/2 )

ln(ch(n)/e^n/2)=ln((e^n+e^-n)/2e^n/2)=ln(e^n/2) + ln(1+e^-2n) -ln(2)

Or ln(1+e^-2n)=e^-2n +o(e^-n)

Donc comme, ln(e^n/2)=n/2, il me semble que la limite est 1..... Mais
j'suis pas une star en calculs donc bon, à vérifier hein..


> 2) Pourquoi
>
> ln(ln(n)) - ln(ln(n+1)) + 1/[(n+1)ln(n+1)] = O(1/[n^2ln(n)])
>
> Je dirai n+1 est equivalent a n et donc que c'est un grand O de 1/[n*ln(n)]
> Je me trompes?

A priori, tu n'as pas le droit d'utiliser des équivalents en somme ni
avec les logs. Ca marche pas toujours.

Ici suffit de faire un DL (fastidieux):

Pour ln(ln(n))-ln(ln(n+1)), tu mets tout dans un seul ln, le terme
ln(n+1) tu l'écris ln(n)+ln(1+1/n), tu factorises et ensuite tu écrisle
DL de ln(1+1/n) en l'infini.

Tu obtiens qqchose de la forme = 1/(nln(n))+O(1/n^2ln(n))

Pour le deuxième terme de la somme, tu mets en facteur 1/nln(n) et tu
fais un DL de ce qui reste. Et là, miracle! :-)

--
Denis

Pour me joindre, enlever les _ !

Ecoutez jeunesses de France! Soyez unis pour gagner:
l'avenir c'est pas la violence,
c'est la solidarité!
-Les Béruriers Noirs




Posted by:

> 1) Pourquoi a t-on
>
> ln( ch(n)/(e^n/2) )
> ------------------- tend vers 0 quand n tend vers +infini
> ln( e^n/2 )

ln(ch(n)/e^n/2)=ln((e^n+e^-n)/2e^n/2)=ln(e^n/2) + ln(1+e^-2n) -ln(2)

Or ln(1+e^-2n)=e^-2n +o(e^-n)

Donc comme, ln(e^n/2)=n/2, il me semble que la limite est 1..... Mais
j'suis pas une star en calculs donc bon, à vérifier hein..


Bien sur ca tend vers 1 je suis meme pas foutu de bien écrire l'énoncé,
c'est
ln( ch(n)/(e^n/2) )
------------------- - 1 qui tend vers 0 quand n tend vers +infini
ln( e^n/2 )
Le but etait justement de montrer que ln( ch(n)/(e^n/2) ) equivaut a ln(
e^n/2 )
Merci beuacoup!


> 2) Pourquoi
>
> ln(ln(n)) - ln(ln(n+1)) + 1/[(n+1)ln(n+1)] = O(1/[n^2ln(n)])
>
> Je dirai n+1 est equivalent a n et donc que c'est un grand O de
1/[n*ln(n)]
> Je me trompes?

A priori, tu n'as pas le droit d'utiliser des équivalents en somme ni
avec les logs. Ca marche pas toujours.

Ici suffit de faire un DL (fastidieux):

Pour ln(ln(n))-ln(ln(n+1)), tu mets tout dans un seul ln, le terme
ln(n+1) tu l'écris ln(n)+ln(1+1/n), tu factorises et ensuite tu écris le
DL de ln(1+1/n) en l'infini.

Tu obtiens qqchose de la forme = 1/(nln(n))+O(1/n^2ln(n))

Pour le deuxième terme de la somme, tu mets en facteur 1/nln(n) et tu
fais un DL de ce qui reste. Et là, miracle! :-)

rien a redire, merci!
--
Denis

Pour me joindre, enlever les _ !

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C'est clair!! Bravo!














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