Mathématiques - Limites

Limites
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: Mathias

Bonjour,
Dans un exercice, je dois calculer pas mal de limites en utilisant des équivalents. Il y en a quelques unes, au nombre de 5, qui me posent problème. Pouvez-vous m'apporter un peu d'aide svp? Merci d'avance.

1°) $f(x) = \frac{sin^2(x)}{tan^2(2x)}$ en $0$ .

2°) $f(x) = \frac{sin(\frac{\pi}{6}-x)}{1-2sinx}$ en $\frac{\pi}{6}$

3°) $f(x) = \frac{x^2+|x|}{x}$ en $0$ .

4°) $f(x) = x sin(\frac{1}{x})$ en $0$ et $+ \infty$

5°) $f(x) = \frac{ln(1+x^{\alpha})}{x^2}, \alpha>0$ en $0$ et $+ \infty$ .

Posted by: fonfon

Salut, quand tu parles d'equivalent est-ce que tu dois transformer tes limites?
(sinon qd tu utilises les DL ça ne te donne pas une idée?)

Posted by: Mathias

Bonsoir :)

Quand je parle d'équivalents, en voici un exemple pris directement dans mon cours:

$\sim_0$ signifie équivalent en 0.

Soit $f(x) = \frac{ln(1+x^2)}{sin(x)(1-e^{2x})}$
On cherche ici la limite en $0$ .
On sait que lorsque $x \rightarrow 0 \, \, x^2 \rightarrow 0$ et $2x \rightarrow 0$ .
$ln(1+x^2) \sim_0 x^2$ ; $sin x \sim_0 x$ et $(1-e^{2x}) \sim_0 -2x$ .
Donc $f(x) \sim_0 \,\frac{x^2}{x \time (-2x)} = \frac{-1}{2}$ .

Voici donc ce que j'entends par équivalent. A partir de là, pensez-vous pouvoir m'aider?

Posted by: boulay59

Bonsoir,

1 - $sin(x) \sim x$ et $tan(x)\sim x$ en 0 donc ...

2 - $sin(\frac{\pi}{6} - x) \sim \frac{\pi}{6} - x$ en $\frac{\pi}{6}$ et pour trouver un équivalent de 1-2sin(x), pense à chercher la limite en $\frac{\pi}{6}$ de $\frac{1-2sin(x)}{x-\frac{\pi}{6}}$

3 - x²=o(|x|) en 0 donc ...

4 - en 0, je ne vois pas comment le faire par équivalent, en revanche, tu peux majorer ta fonction (et essayer de montrer que ça tend vers 0)

en $\infty$ : $sin(1/x)\sim 1/x$

5 - en 0, $ln(1+x^\alpha) \sim x^\alpha$
en $\infty$ utilise la comparaison logarithme polynome

Bien sûr, ce n'est pas une réponse complète et il manque de ci de là quelques justifications que je te laisse trouver

Posted by: Mathias

Merci bien de ta réponse!
Quand tu indiques un équivalent, est-iol nécessaire de le justifier? Par exemple, quand tu écris $sin(x) \sim x$ , faut-il le justifier? Et ce pour tous les autres cas?

Posted by: boulay59

Ca dépend, normalement, il y a des équivalents vus en cours (sin, tan, ln(1+x) en font partie mais tu les as peut-être pas encore vus). Sinon, il faut les justifier bien sûr (par les formules de Taylor, par des calculs de limites comme $\frac{sin(x)}{x}$ ou par composition, multiplication, addition (!!!! NON !!!!

, jamais d'addition !!!!)

Bon we

Posted by: Mathias

Je suis en train de regarder pour le dernier cas, à savoir $f(x) = \frac{ln(1+x^{\alpha})}{x^2}, \alpha>0$ .

$ln(1+x^{\alpha}) \sim x^{\alpha}$ en $0$ , mais alors selon la valeur de $\alpha$ , la limite diffère! Non? Par exemple si $\alpha=2$ , la limite est de $1$ ...

Et pour le cas en $+ \infty$ , je ne vois vraiment pas ...