limite d'une fonction non majorée

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Posted by: chipie01

Bonjour,
On sait que f est une fonction continue, dérivable sur R et que sa dérivée est positive. D'autre part on a :
quel que soit t appartenant à R, f(t+2Pi)=f(t)+2Pi
On veut montrer qu'alord limite de f(t) en plus l'infini est plus l'infini.

Je vous remercie d'avance pour votre aide.


Posted by: Alpha

Salut,

A première vue, on peut essayer de montrer que f n'est pas majorée. Comme de plus sa dérivée est positive, elle est croissante, et une fonction croissante et non majorée tend vers + l'infini.

Reste donc à montrer que f n'est pas majorée, ce qui est trivial (c'est là qu'on utilise f(t + 2pi) = f(t) + 2pi ). Je te laisse chercher un peu, si tu ne trouves pas, dis-le, et je détaillerai ce dernier point.

Alpha +


Posted by: chipie01

Oui c'est justement le point de la majoration qui m'empêchait de démontrer que limite en plus l'infini est égale a plus l'infini.
Merci pour ton aide


Posted by: Alpha

Salut,

Soit M un réel. Soit a un réel quelconque.

Si f(a) > M, M ne majore pas f.

Sinon, on a donc f(a) \le M. Et il existe n \in \mathbb{N}
tel que f(a) + 2n\pi > M.

Pour le montrer rigoureusement, il suffit de dire que 2n\pi tend vers + l'infini quand n tend vers + l'inf, donc il existe n tel que 2n\pi > M - f(a).

Or f(a) + 2n\pi = f( a + 2n\pi), donc f( a + 2n\pi) > M.

Donc, quel que soit le réel M, M ne majore pas f. f n'est donc pas majorée.

CQFD.

Alpha +


Posted by: chipie01

Merci bcp alpha et je ferai attention de bien respecter les consignes du forum désormais.
Chipie ;-)










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