Mathématiques

Limite
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Posted by: Babe

Bonjour,

j'ai une fonction de plusieurs variable et je bloque pour la limite

$3$ \textrm f(x,y)=\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2} si (x,y)\neq (0,0) et f(0,0)=0$

donc pour montrer qu'elle tend bien vers (0,0)
j'ai pris le module de f
$f(x,y)=\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x^2+y^2}$
je dois majoré cete expression avec les valeur absolu mais je galere un peu (j'aurais du ecouter un peu mieux au lycée

)

merci d'avance

PS: quelqu'un sait faire les valeur absolu, enfin des traits verticaux avec un clavier de macbook

Posted by: tize

Bonjour,
$\|\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}\|\leq\|\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\|\leq \frac{$x^2+y^2$\max(|x|,|y|)}{x^2+y^2}=...$

Posted by: totom

Salut à vous deux,
désolé tize mais ta premiere inégalité me semble fausse (x=1 et y=-2).
Par contre un truc classique dans ce genre de question est passer en polaires;
tu vois alors que tu peux majorer abs(f) par une constante multiplée par p qui tend vers zéro avec p (module).
A plus

Posted by: Babe

@totom
oui en polaire la reponse est immediate mais j'aimerais voir la solution sans passer par là

@tize
je n'ai pas compris le debut de ton inegalité
je suis d'accord avec le max dans la 2e partie mais je ne vois pas en quoi cela permet de resoudre

Posted by: totom

x^2+xy+y^2<=x^2+y^2+abs(xy)<=3/2 (x^2+y^2), d'où une majoration de abs(f) par 3/2 abs(x-y).

désolé pour la lecture difficile occasionnée (je pense me mettre au latex un jour...)

Posted by: tize

Citation:

Posté par totom

Salut à vous deux,
désolé tize mais ta premiere inégalité me semble fausse (x=1 et y=-2).
Par contre un truc classique dans ce genre de question est passer en polaires;
tu vois alors que tu peux majorer abs(f) par une constante multiplée par p qui tend vers zéro avec p (module).
A plus

oui en fait je me suis trompé avec la position des valeurs absolues mais ça marche quand même, pas besoins de polaire... :
$\|\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}\|\leq\frac{|x|^3+|y|^3}{x^2+y^2}\leq \frac{$x^2+y^2$\max(|x|,|y|)}{x^2+y^2}=...$

Posted by: totom

ça roule!
le truc en général si le passage en polaires n'est pas probant, c'est de faire apparaitre les normes N1, N2, Ninf de R^2 dans la majoration de l'expression de f pour les cas pas trop durs.
Bonne soirée

Posted by: Babe

Citation:

Posté par totom

x^2+xy+y^2<=x^2+y^2+abs(xy)<=3/2 (x^2+y^2), d'où une majoration de abs(f) par 3/2 abs(x-y).

désolé pour la lecture difficile occasionnée (je pense me mettre au latex un jour...)

que signifie abs ?
comment fais tu aparaitre le 3/2 ?
dsl d'etre un boulet

Posted by: totom

abs c'est mon ecriture pour valeur absolue car je sai pas faire autrement...
justemlent(abs(x)-abs(y))^2 positif, et en developpant, abs(xy)<= 1/2 (x^2+y^2).
voili voilou
ps:si on cherche bien on est tous des boulets!

Posted by: Babe

ah merci totom tout s'illumine

Posted by: Babe

c'est juste de faire comme raisonnement
abs(x^2+y^2+xy) =< x^2+y^2+ abs(xy)

(x-y)^2 >=0
donc x^2+y^2-2xy>0
x^2+y^2> 2xy

d'où abs(x^2+y^2+xy) =< 3xy
et abs(x^2+y^2) =< 2xy

donc (abs(x^2+y^2+xy))/(abs(x^2+y^2))=(3xy)/(2xy)=3/2