Limite...

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Posted by: bitonio

Bonjour,

voila un exo posé par notre prof de sup. Je le trouve assez interessant :)

calculer 5$ L= lim_{x \rightarrow + \infty } ( \frac { a^x + b^x} {2})^{1 \over x}

Bonne chance!

Ciao


Posted by: Nightmare

Bonjour

Sans mettre la démo je trouve que la limite vaut ln(a) si b < a et vaut +oo si b > a




Posted by: bitonio

Raté De toute facon comme le choix et a et b est arbitraire, ton raisonement ne peut pas tenir la route


Posted by: Nightmare

Mon raisonnement.

f(x)=\(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}\)^{\frac{1}{x}}

\rm ln(f(x))=\frac{1}{x}ln\(\frac{a^{x}(1+\(\frac{b}{a }\)^{x}}{2}\)
\rm ln(f(x))=\frac{1}{x}ln(a^{x}}+\frac{1}{x}ln(1+\(\f rac{b}{a}\)^{x})-\frac{ln(2)}{x}
\rm ln(f(x))=ln(a)-\frac{ln(2)}{x}+\frac{1}{x}ln(1+\(\frac{b}{a}\)^{x })

Si b<a , \rm \frac{b}{a} &lt; 1 d'où \rm (\frac{b}{a})^{x}\longrightarrow_{x\to +\infty} 1
Ainsi \rm \frac{1}{x}ln(1+\(\frac{b}{a}\)^{x})\longrightarro w_{x\to +\infty} 0
On en déduit que ln(f(x)) converge vers ln(a) donc que f converge vers a.

Si b > a , \rm ln(1+\(\frac{b}{a}\)^{x})=ln(\(\frac{b}{a}\)^{x})+ ln(1+\(\frac{a}{b}\)^{x})
Finalement :
\rm \frac{1}{x}ln(1+\(\frac{b}{a}\)^{x})=ln\(\frac{b}{ a}\)+\frac{1}{x}ln(1+\(\frac{a}{b}\)^{x})\longrigh tarrow_{x\to +\infty} ln\(\frac{b}{a}\)

Finalement \rm ln(f(x))\longrightarrow_{x\to +\infty} ln(a)+ln\(\frac{b}{a}\) d'où f converge vers b




Posted by: Nightmare

Bon, modulo le LaTeX défaillant, on comprend




Posted by: bitonio

Oui c'est la bonne réponse! c'est en effet max(a,b)! bravo :) Cependant il y a beaucoup plus simple avec des DL ...


Posted by: darkmaster

j'ai une autre solution.
Si b &gt; a on a L=b(\frac{1+t^x}{2})^{\frac1x} où t=\frac{a}{b}&lt;1
x\longrightarrow +\infty donc t^x \rightarrow 0 et \frac1x \rightarrow 0
Par suite, L \longrightarrow b(\frac12)^0=b


Posted by: darkmaster

Et je crois que la limite de F=_{x\rightarrow+\infty}(1+t^x)^x où 0&lt;t&lt;1 est plus difficile...


Posted by: steef91

Citation:
Posté par darkmaster
Et je crois que la limite de F=_{x\rightarrow+\infty}(1+t^x)^x où 0&lt;t&lt;1 est plus difficile...


je serrai curieux de savoir à quoi c'est égal :)


Posted by: fahr451

Citation:
Posté par steef91
je serrai curieux de savoir à quoi c'est égal :)

on va dire 1 pour faire simple










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