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limite
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Posted by: nekros

Salut,

Déterminer $3$\lim_{n \to +\infty} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{tan^3 \frac{nx+1}{n+1}}{cos^2(x)} dx$

Bonne réflexion.

A+

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par nekros

Déterminer $3$\lim_{n \to +\infty} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{tan^3 \frac{nx+1}{n+1}}{cos^2(x)} dx$

Précision : je suppose que tu veux dire :

$3$\lim_{n \to +\infty} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(tan\frac{nx+1}{n+1})^3}{cos^2(x)} dx$

Ai-je raison ?

(le code latex n'est pas ambigu mais son interprétation l'est)

Posted by: nekros

Citation:

Posté par Quidam

Pardon, je n'avais pas vu ton message.

C'est tout à fait ça.

Bonne réflexion.

A+

Posted by: Mikou

salut,

$\lim_{ n \to +\infty}{ \frac{nx+1}{n+1}} = x$

or l'integrande devient $\frac{tan^3 (x)}{cos^2(x)}$ (continue sur [0;pi/2[ par prologement en 0)

$\frac{1}{cos^2(x)}$ etant la derivé de tan (x)

on reconnait lintegrande sous la forme u^3 * u' ( avec u = tan (x) )
Une primitive est 1/4 * u^4.

$\large \lim_{x \to \frac{pi}{2}}{{[ \frac{1}{4} \times tan^4 (x) ]^{x}}}_0$ = + inf

Posted by: nekros

L'idée de départ est bonne.

On dit que l'intégrale proposée tend vers $3$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{tan^3(x)}{cos^2(x)}dx$

Mais I ne tend pas vers l'infini.

A+

Posted by: Mikou

? la borne superieur c p/4 ou pi/2 ? si oui la limite vaut 1 ?

Posted by: nekros

Citation:

Posté par Mikou

? la borne superieur c p/4 ou pi/2 ? si oui la limite vaut 1 ?

Oups la borne supérieure vaut $3$\frac{\pi}{4}$

Mais la limite n'est toujours pas 1.

A+

Posted by: Mikou

oui pardon c 1/4 :)

Posted by: nekros

La limite est correcte.
Bravo

A+

Posted by: nekros

Question : $3$tan^3$ est $3$k$ -lipchitzienne sur un intervalle convenable.

Quel est cet intervalle et que vaut $3$k$ ?

A+