Mathématiques - Limite... pas sûre

Limite... pas sûre
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Posted by: pitite

Voici une petite limite avec x tend vers 0

ln(cos(x)) / (sin^2)(x)

que j'ai essyé de résoudre en additionnant (cos^2)(x) / (cos^2)(x) pour avoir au déno 1 et pour trouver aussi 1 au num donc = 1

Vous voyez ce que j'ai voulu faire, ca vous semble juste?

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par pitite

Voici une petite limite avec x tend vers 0

ln(cos(x)) / (sin^2)(x)

que j'ai essyé de résoudre en additionnant (cos^2)(x) / (cos^2)(x) pour avoir au déno 1 et pour trouver aussi 1 au num donc = 1

Vous voyez ce que j'ai voulu faire, ca vous semble juste?

Non, je crains le pire ! Précise exactement ce que tu as fait. Ton explication n'est pas claire !

ln(cos(x)) / (sin^2)(x) = ?????

Posted by: pitite

je précise:

ln(cos(x) (cos^2)(x)
--------- + ---------- = 1 (quand x->0)
(sin^2)(x) (cos^2)(x)

argh... vraiment pas sûre j'ai essayer ça car tout le reste (l'Hosptial) ne marchait pas non plus, enfin je crois...

Posted by: cesar

ta limite est -1/2 .... encore faut il le demontrer proprement en faisant un DL
attention au ln(cos(x))....

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par pitite

je précise:

ln(cos(x) (cos^2)(x)
--------- + ---------- = 1 (quand x->0)
(sin^2)(x) (cos^2)(x)

argh... vraiment pas sûre j'ai essayer ça car tout le reste (l'Hosptial) ne marchait pas non plus, enfin je crois...

Attends ! Tu veux dire que pour chercher la limite de :
$\Large A = \frac{\ln(\cos(x))}{\sin^2(x)}$
... tu as à la place cherché la limite de $\Large B = A +1$

Avec $\Large B = \frac{\ln(\cos(x))}{\sin^2(x)} + \frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}$ ?

Moi, je veux bien ! Pourquoi pas ?

Mais je ne vois pas comment tu réussis à trouver que B=1 ! Explique !

Peut-être veux-tu parler de $\Large \lim_{x \to 0} B$ ! Mais, même dans ce cas, comment justifies-tu que la limite de B est 1 ?

Posted by: tlzl

Je pense qu'elle voulait s'arranger pour avoir

sin2(x)+cos2(x)=1 au dénominateur

Posted by: pitite

C'est ca mais bon ca n'a pas l'air d'être le cas...

Quelle est la solution donc pour résoudre cette maudite limite?

Cesar un DL c'est quoi ?

Posted by: yos

Sans DL :
$\large\frac{\ln\cos x}{\sin^2x}=\frac{\ln(1+h)}{h}\frac{\cos x-1}{\sin^2x}$ où $h=\cos x-1$ .
Le premier facteur tend vers 1, le second vers $-\frac12$ puisqu'il vaut aussi $\frac{-1}{\cos x+1}$

Posted by: pitite

On est d'accord que cos(0)=1

donc Yos ton h=0 si x->0

si ton h vaut 0 alors ln(1+h) vaut aussi 0

et comme au dénominateur on a h alors moi je trouve 0/0 pour le premier facteur... idem pour le deuxième... Où est mon erreur?

Posted by: atomic_boy_algeria

c'est pas just ce que tu as fait la , tu peux ajouté cos²x et soustraire cos²x par la suite , ou bien tu peux ajouté cos²x/cos²x puis soustraire cos²x/cos²x , ou aussi x cos²2/cos²2 , mais ca méne a rien , il faut utiliser l'une des équation trigonométrique pour résoudre ca , la quel , attend que jy songe un pti peut plus a la solution , je v t'apporté la solution ultérieurement , si je la trouve biensure lol

Posted by: Dominique Lefebvre

Citation:

Posté par atomic_boy_algeria

c'est pas just ce que tu as fait la , tu peux ajouté cos²x et soustraire cos²x par la suite , ou bien tu peux ajouté cos²x/cos²x puis soustraire cos²x/cos²x , ou aussi x cos²2/cos²2 , mais ca méne a rien , il faut utiliser l'une des équation trigonométrique pour résoudre ca , la quel , attend que jy songe un pti peut plus a la solution , je v t'apporté la solution ultérieurement , si je la trouve biensure lol

Bonjour,
Non, tu ne vas pas lui donner la solution, c'est contraire à l'esprit du forum ! Tu peux continuer à l'aider afin qu'il (elle) la trouve!

Pour la modération

Posted by: canard

Citation:

Posté par pitite

On est d'accord que cos(0)=1

donc Yos ton h=0 si x->0

si ton h vaut 0 alors ln(1+h) vaut aussi 0

et comme au dénominateur on a h alors moi je trouve 0/0 pour le premier facteur... idem pour le deuxième... Où est mon erreur?

lol la 1er fraction est la derive de ln de x au point 1 donc 1 tt simplement et la deuxieme tu applique tes foemule de trigo si tu ne t'en souvien plus tu les retrouve en passant par une linearisation des complexe ou de moivre

2nd methode DL ordre 2 au voisinage de 0

cos(x) = 1-(x^2)/2+o(x)

ln(cos(x))= -(x^2)/2+o(x)

sin(x)=x

sin^2(x)=x^2

donc lim x====>0 de n(cos(x))/sin^2(x) = -1/2 cqfd

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par pitite

C'est ca mais bon ca n'a pas l'air d'être le cas...

Ouais ! Tu voulais avoir 1 au dénominateur, n'est-ce pas ? Eh bien je te signale qu'ajouter 1 à A par :
$\Large B = A +1$

Avec $\Large B = \frac{\ln(\cos(x))}{\sin^2(x)} + \frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}$
Cela ne permet absolument pas d'avoir 1 au dénominateur !

Car $\Large \frac{p}{q}+\frac{r}{s}$ n'est pas égal à $\Large \frac{p+r}{q+s}$ ; il faudrait donc que tu revoies sérieusement et de toute urgence les règles élémentaires de calcul !

J'ai dit que je m'attendais au pire : le pire est arrivé !

Révise tes règles de calcul, en particulier :
$\Large \frac{p}{q}+\frac{r}{s}=\frac{ps}{qs}+\frac{rq}{qs }=\frac{ps+rq}{qs}$
$\Large \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{1*3}{2*3}+\frac{1*2} {2*3}=\frac{1*3+1*2}{2*3}=\frac{3+2}{2*3}=\frac{5} {6}$
$\Large \frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ n'est pas égal à $\Large \frac{1+1}{2+3}=\frac{2}{5}$ : c'est égal à $\Large \frac{5}{6}$

Posted by: pitite

effectivement, je sais plus trop ce que j'ai fait, je devait être un peu naze... ¨

abandonnons donc l'idée de rajouter ce 1...

je ne suis malheureusement toujours pas plus avancée ds le dvp de cette limite...

rappel: lim x->0

ln(cos(x)
---------
(sin^2)(x)

Posted by: canard

Citation:

Posté par pitite

effectivement, je sais plus trop ce que j'ai fait, je devait être un peu naze... ¨

abandonnons donc l'idée de rajouter ce 1...

je ne suis malheureusement toujours pas plus avancée ds le dvp de cette limite...

rappel: lim x->0

ln(cos(x)
---------
(sin^2)(x)

lol tu fais un dl comme j'ai fait ou bien tu passe par la definiton d'une derivé comme à fait yos

Posted by: pitite

je sais pas ce qu'est un dl

Posted by: Quidam

Je suppose que tu es en Terminale, me trompe-je ? (les logarithmes, c'est en Terminale qu'on les voit). Donc tu sais ce que c'est qu'une limite, enfin, tu devrais savoir. La réponse de yos est parfaite !

Citation:

Posté par pitite

On est d'accord que cos(0)=1

Oui,

Citation:

Posté par pitite

Yos ton h=0 si x->0

Ben non ! x->0 ne signifie pas x=0 !!!! C'est complètement différent !

Citation:

Posté par pitite

et comme au dénominateur on a h alors moi je trouve 0/0 pour le premier facteur...

0/0 n'est pas un nombre ! On utilise cette écriture pour caractériser un forme indéterminée ! Ton cours a dû t'apprendre

que si une forme indéterminée était du "type" 0/0 alors il était possible que l'expression en question tende vers 0, par exemple :
$\Large \lim_{x \to 0}\ \ \frac{x^2}{x} =0$ C'est de la forme 0/0 !
que si une forme indéterminée était du "type" 0/0 alors il était possible que l'expression en question tende vers $\Large +\infty$ , par exemple :
$\Large \lim_{x \to 0}\ \ \frac{x}{x^2} =+\infty$ C'est de la forme 0/0 !
que si une forme indéterminée était du "type" 0/0 alors il était possible que l'expression en question tende vers une constante non nulle, par exemple :
$\Large \lim_{x \to 0}\ \ \frac{2x}{x} = 2$ C'est de la forme 0/0 !
et même que si une forme indéterminée était du "type" 0/0 alors il était possible que l'expression en question n'ait pas de limite, par exemple :
Lorsque $\Large x \to 0$ alors $\Large \ \ \frac{x\sin(x)}{x}$ n'a pas de limite. C'est de la forme 0/0 !

C'est précisément pour cette raison, que l'on appelle cela une "forme indéterminée" ! Tout peut arriver !

Le fait que $\large\frac{\ln\cos 0}{\sin^2(0)}$ ne soit pas défini (puisque cela s'écrit 0/0 et qu'on ne sait pas "diviser par 0", que cela n'a pas de sens), n'implique pas que $\large\frac{\ln\cos x}{\sin^2(x)}$ ne tende pas vers un réel tout à fait normal lorsque x tend vers 0, lorsque x s'approche de 0 !

Je pense que tu dois revoir tes cours de première sur les limites ! En outre le fait que $\Large \lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h)}{h}\ =1$ est un théorème de ton cours sur les logarithmes ! Yos a tout à fait raison ! Apprends ton cours, tu comprendras...

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par pitite

je sais pas ce qu'est un dl

Pas grave ça ! Tu n'en as pas besoin : ton cours suffit largement pour cette question !

Posted by: pitite

Merci pour vos explications, mais

j'ai dû louper qqch

car effectivement même

lim h->0

ln(1+h)
----=1
h

je ne saurai l'expliquer et de ce fait je pense que c'est pour cela que je ne copmrends pas non plus la démo de Yos...

Tant pis... j'abandonne

Posted by: yos

C'est facile à prouver : c'est par définition le nombre dérivée de ln en 1.
Mais regarde au moins dans ton cours.