Mathématiques - limite de fonction a deux variables

limite de fonction a deux variables
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Posted by: road runner

bonsoir
je dois calculer certaine limite et j'ai eu ces resultats

$\lim_{(x,y) \to(0,0) } \frac{xy}{x^2+y^2}$ n'existe pas.

$\lim_{(x,y) \to(0,0) } \frac{e^xy - 1}{x^2+y^2}$ n'existe pas aussi

pour $\lim_{(x,y) \to(0,0) } \frac{x+y}{x^2-xy+y^2}$ j'ai trouver -1 quand j'ai remplacé par f(1/n,1/n) mais je narrive pas a majorer ,,,,

et que ce que je fais pour $\lim_{(x,y) \to(a,a) } \frac{\sin x - \sin y}{x-y}$ avec a appartenant a R.

et pour $\lim_{(x,y) \to(a,1) } \frac{y^x - 1}{\log (y)}$ avec a appartenant a R.

merci d'avance

Posted by: mathelot

Citation:

Posté par road runner

pour $\lim_{(x,y) \to(0,0) } \frac{x+y}{x^2-xy+y^2}$ j'ai trouver -1 quand j'ai remplacé par f(1/n,1/n) mais je narrive pas a majorer ,,,,

l'astuce c'est de passer en coordonnéées polaires dès que l'on étudie
une fraction rationnelle homogène en x et y.
$x=r \cos(\theta)$
$y=r \sin(\theta)$

$f(x,y)=\phi(r,\theta)=\frac{\cos(\theta)+\sin(\the ta )}{r(1-0,5 \sin(2 \theta ) )}$

Citation:

Posté par road runner

et que ce que je fais pour $\lim_{(x,y) \to(a,a) } \frac{\sin x - \sin y}{x-y}$ avec a appartenant a R.

$\frac{\sin x - \sin y}{x-y} = \frac{\int_{y}^{x} cos(t) dt}{x-y}$
a pour limite $\cos(a)$ à cause du thm de la moyenne.

Posted by: road runner

ok j'vais voir

et pour les autres ??

Posted by: mathelot

Citation:

Posté par road runner

et pour $\lim_{(x,y) \to(a,1) } \frac{y^x - 1}{\log (y)}$ avec a appartenant a R.

$\frac{y^x - 1}{\log (y)}=\frac{e^{x\ln(y)}-1}{\ln(y)}$
ce qui suggère le changement de variable $u=\ln(y)$

$\lim_{(x,u) \to(a,0) } \frac{e^{xu} - 1}{u}$
intuitivement a pour limite le nombre dérivée de $u \longrightarrow e^{xu}$
en $u=0$ et $x=a$ , ie, $a$ .

euh

, pour faire la démo de ce dernier résultat, on écrit:
$\lim_{(x,u) \to(a,0) } x \frac{e^{xu} - 1}{xu}$
et le produit $xu$ a pour limite zéro quand $(x,u) \right (a,0)$

Posted by: road runner

Citation:

Posté par mathelot

$\frac{\sin x - \sin y}{x-y} = \frac{\int_{y}^{x} cos(t) dt}{x-y}$
a pour limite $\cos(a)$ à cause du thm de la moyenne.

comment on utilise ici, le thm de la moyenne

Posted by: fahr451

Citation:

Posté par road runner

bonsoir

pour $\lim_{(x,y) \to(0,0) } \frac{x+y}{x^2-xy+y^2}$ j'ai trouver -1 quand j'ai remplacé par f(1/n,1/n) mais je narrive pas a majorer ,,,,

merci d'avance

bonsoir
es- tu sûr ?

la limite n'existe pas

Posted by: road runner

pardon
en fait c'est ici que mathelot a utilisé la moyenne

Posted by: fahr451

il existe c compris entre x et y (ou l'inverse) tel que l'intégrale vaille cos(c)
c coincé entre xet y tend vers a d'où la limite égale à cos a

Posted by: road runner

ok *merci

Posted by: mathelot

Citation:

Posté par mathelot

$f(x,y)=\phi(r,\theta)=\frac{\cos(\theta)+\sin( \theta )}{r(1-0,5 \sin(2 \theta ) )}$

Ensuite, pour montrer l'absence de limite, on considère deux limites
radiales différentes, selon deux droites passant par l'origine , d'équation $\theta$ =constante. Içi, ce n'est pas la peine, car la fonction en valeur absolue, tend vers $+\infty$ sauf pour quelques valeurs de $\theta$ particulières.

Posted by: fahr451

f(x,0) devrait suffire pour conclure