Mathématiques - une limite pas du tout évidente

une limite pas du tout évidente
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Posted by: sue

Bonjour ,

lors de l'étude d'une fonction , je sèche totalement sur cette limite : limite qd $x\to 0$ $\frac{ln(x+1)-x}{x^2}$
à l'origine il s'agit d'étudier la dérivabillité en 0 de la fct définie par : $f(x)=\frac{ln(x+1)}{x}$ et on demande de "vérifier" que : $f'(0)=\frac{-1}{2}$
et bien moi ce ''vérifier" me semble pas si évident avec les vielles méthodes de terminal !
(sans l'hopital)
j'ai pensé encore à un encadrement de ln mais je ne pense pas que c'est ce qui est attendu ! enfin il faut d'abord montrer cet encadrement

si vous voyez un astuce je suis preneuse

merci

Posted by: fahr451

bonjour

je pense qu'il n'est pas raisonnable de poser une question comme celle-ci sans indication quand on n'a pas étudié les développements limités.

Posted by: cyberchand

Bonjour!

D'abord, cette question se résout en 2 secondes quand on connait les développements limités. Mais je crois que tu en es TS donc, exit les DL

Mais j'ai trouvé une autre méthode, au cas où tu connaitrais le calcul intégral.
Dans l'expression $\frac{ln(x+1)-x}{x^2}$ , commence par remplacer ln(x+1) par intégrale de 0 à x de dt/(1+t). Puis fais entrer le second terme dans l'intégrale. Ensuite, fais une intégration par parties (en dérivant le 1/(1+t)). Le premier terme que tu obtiens devrait de plaire, quand au second, tu devrais pouvoir le majorer facilement pour montrer qu'il tend vers 0 quand x tend vers 0.

Demande moi d'expliciter si ce n'est pas assez clair !!

Posted by: fahr451

et on attend ça d'un élève de terminales?

Posted by: sue

non fahr je ne pense pas

sinon , merci bien cyberchand , j'ai bien compris ta méthode

mais je ne peux pas y arriver toute seule !

Posted by: geraliva257

J Pense Ke La Methode De Fahr Est Un Ptit Peu Komplikee

Posted by: fahr451

Citation:

Posté par geraliva257

J Pense Ke La Methode De Fahr Est Un Ptit Peu Komplikee

c'est fort possible mais pour l'instant je n 'en ai pas donné

Posted by: cyberchand

Bah il faut bien t'entrainer si tu veux faire prépa...

Sinon y a effectivement plus simple : ln(1+x) = x - x^2/2 + o(x^2), et le résultat en découle immédiatement.

Mais évidemment pour ça il faut la formule de Taylor Young à l'ordre 2... qui se démontre par une intégration par parties !

Sinon on peut peut-être le montrer avec une étude de fonction du genre ln(1+x) - x + x^2/2, étudier les variations, et trouver une majoration de f'(x) + 1/2 au voisinage de 0.....
M'enfin bon, le plus simple c'est quand même avec la formule de Taylor à l'ordre 2. Et ne me dites pas que c'est trop compliqué pour la terminale, c'est rien d'autre qu'une malheureuse intégration par parties !

Posted by: fahr451

Citation:

Posté par cyberchand

Bah il faut bien t'entrainer si tu veux faire prépa...

Sinon y a effectivement plus simple : ln(1+x) = x - x^2/2 + o(x^2), et le résultat en découle immédiatement.

Mais évidemment pour ça il faut la formule de Taylor Young à l'ordre 2... qui se démontre par une intégration par parties !

il ne s'agit pas de savoir si c'est simple ou compliqué il s'agit de savoir si un élève va aller inventer seul une formule de taylor

Posted by: sue

euh tt à fait d'accord avec fahr
je ne pense pas que ce taylor s'est cassé la tête pour que j'arrive moi en deux minutes et réinventer sa formule !

s'il s'agit de plus simple , il me semble que l'hopital l'emporte , mais c'est pas au programme !

Posted by: mathelot

$\frac{\ln(x+1)-x}{x^2}=\frac{-1}{x^2} \int_{0}^{x} \, \frac{t}{1+t} dt$

$\frac{\ln(x+1)-x}{x^2}=- \int_{0}^{1} \, \frac{u}{1+ux} du$

en posant $dt=xdu$

d'où:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(x+1)-x}{x^2}=- \int_{0}^{1} \, udu = - \frac{1}{2}$

Posted by: cyberchand

Euh il y a une interversion limite-intégrale à justifier là...

Posted by: sue

justement . je ne comprend pas ta dernière ligne mathelot .
à ma connaissance , la seule chose qui relie limites et intégrales c'est Reiman , mais aucun rapport avec ce que tu as fait me semble !

j'aimerais plus de précision stp !
merci

Posted by: cyberchand

Il y a des règles pour justifier l'interversion entre une limite de fonctions et une intégrale. Si on a une suite de fonctions fn qui tend vers f, alors intégrale de fn ne tend vers f que sous certaines conditions. Mais c'est largement hors programme en TS, et même en sup.

Posted by: alben

En partant de ce qu'a fait mathelot :
$\frac{\ln(x+1)-x}{x^2}=- \int_{0}^{1} \, \frac{u}{1+ux} du$
et en remarquant que $\frac{u}{1+ux}=u-x\; \frac{u^2}{1+ux}$
On tire
$\frac{\ln(x+1)-x}{x^2}=- \int_{0}^{1} \, udu+x \int_{0}^{1} \, \frac{u^2}{1+ux} du$
Dans la deuxième intégrale, le diviseur est plus grand que 1 et la valeur de la fonction sera donc inférieure à u², donc l'intégrale plus petite que 1/3.
Il reste donc $\frac{\ln(x+1)-x}{x^2}=- \frac{1}{2}+x I$ avec 0<I<1/3
Lorsque x tend vers zéro, il ne reste que le premier terme

Posted by: yos

Bonjour.
Parmi les méthodes niveau TS, on peut montrer au préalable l'encadrement
$-\frac{x^2}{2}\leq \ln (1+x)-x\leq -\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}$ pour $x\geq 0$ . C'est immédiat en étudiant deux fonctions. Pour la limite à gauche en 0, il faut recommencer.

Posted by: sue

Citation:

Posté par Alben

fonction sera donc inférieure à u², donc l'intégrale plus petite que 1/3.

pourquoi 1/3 ?

Posted by: alben

Parce que $\int_{0}^{1} \, u^2 du= \frac{1}{3}$

Posted by: sue

ok ok

c'est une trés jolie méthode !
merci bien alben .

sinon Yos , j'y ai pensé mais je me suis dit surement y a plus direct , en tt cas me semble pas logique de faire toute une étude de fcts por calculer une limite . En plus faut trouver le bon encadrement et c'est pas tj évident !

Posted by: B_J

Bonjour ;
on peut adapter la demonstration de la regle de l'hopital
on pose :
h_x(t)=f(x)g(t)-f(t)g(x) avec f(x)=ln(1+x)-x et g(x)=x²
alors h_x(0)=h_x(x)=0
et on conclut en appliquant Rolle

Posted by: sue

joli coup B J

enfin je pense que c'est ce qui est demandé !

lagrange donne directement le résultat aussi mais tt découle de rolle .

penser à démontrer l'hopital , c'est là ou réside la diffculté (enfin pour moi) mais c faisable peut être pour les autres .

celà m'insite à revenir sur mes vieux théorèmes . merci !

Posted by: B_J

Citation:

Posté par sue

penser à démontrer l'hopital , c'est là ou réside la diffculté ...

c'est quand meme plus simple que de passer par des integrales pas du tout evidentes, non ?

Posted by: sue

pour ma part aucune réponse fournie à cette question n'est évidente !

mais ça m'intéresse d'avoir en tête toutes ces méthodes , peut être la prochaine fois j'y arriverai .