Limite d'une fonction composée

[berrylove]

Bsr, Pourriez vous corriger ce devoir maison svp ???

f est la fonction définie et continue sur IR, dont les variations sont résumées dans le tableau ci-dessous.

(Je ne sais pas faire le tableau, donc je vais le rédiger)

X = de - inf. à 2 puis à 4 : la courbe est décroissante de 1 à -2,
X = de 4 à 7 puis à + inf. : la courbe est croissante de -2 à + inf.

1. g est la fonction définie par g(x) = [f(x)]².

a) Pourquoi g est-elle définie sur IR ?

Trouver une fonction u telle que g soit la composée de f suivie de u.

c) En utilisant , étudier les limites de g en + inf. et - inf. et préciser les équations des asymptotes éventuelles.

2. h et j sont les fonctions respectivement définies par :
h(x) = f(x) et j(x) = (1) / f(x) .

Préciser l'ensemble de définition de chacune des fonctions h et j, étudier les limites de ces fonctions aux bornes de leur ensemble de définition, ainsi que les asymptotes éventuelles aux courbes.


Réponses à l'exercice :

1.
a) g(x) = [f(x)]²

Soit la fonction g(x), une fonction qui est élevé au carré f(x) or tous les réels ont une image sur la fonction carré qui est toujours positive alors Dg = IR.

b ) u suivie de f = [f(x)]² donc u(x) = x²

c) lim f(x) (quand x tend vers + inf.) = + inf.

lim u(x) (quand x tend vers + inf.) = + inf.

Donc par composée lim g(x) (quand x tend vers + inf.) = + inf.

lim f(x) (quand x tend vers - inf.) = 1

lim u(x) (quand x tend vers 1) = 1

y = 1 asymptote horizontale à f(x) en - inf.

Alors par composée lim g(x) (quand x tend vers - inf.) et y = 1 est asymptote horizontale en - inf.

2.

a) h(x) = (racine carrée)f(x)

La fonction h est définie sur [ 0 ; + inf.], car on ne peut chercher la racine carrée d'un nombre négatif.

h (x) = u suivie de f tel que u(x) = (racine carrée) x

lim h(x) (quand x tend vers 0) = ?

lim f(x) (quand x tend vers 0) = (racine carrée)0 = 0+

Donc par composée, lim h(x) (quand x tend vers 0) = 0+

lim f(x) (quand x tend vers + inf.) = + inf.

lim u(x) (quand x tend vers + inf.) = + inf.

Donc par composée lim h(x) (quand x tend vers + inf.) = + inf.

b ) j(x) = (1) / f(x)

j(x) est définie sur IR* car la division par 0 est impossible.

j(x) = u suivie de f tel que u(x) = (1) / (x)

lim j(x) (quand x tend vers - inf.) = ?

lim f(x) (quand x tend vers - inf.) = 1

lim u(x) (quand x tend vers 1) = (1) / (1)

Donc par composée lim j(x) (quand x tend vers - inf.) = 1

y = 1 est asymptote horizontale à j.

lim j(x) (quand x tend vers 0 et que x 0) = ?


lim u(x) (quand x tend vers 0 et que x >0) = (1) / (0) = + inf.

Donc par composée, lim j(x) (quand x tend vers 0 et que x est supérieur à 0) = + inf.

lim j(x) (quand x tend vers + inf.) = ?

lim f(x) (quand x tend vers + inf.) = + inf.

lim u(x) (quand x tend vers + inf.) = 0

Donc par composée, lim j(x) (quand x tend vers + inf.) = 0

La droite des ordonnées est asymptote horizontale à j(x) en + inf.

Merci.