Mathématiques - Une limite a couper le souffle...

Une limite a couper le souffle...
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Posted by: Sora

Lim (sinx-x)/x^3 lorsque x tend vers 0
Et merci

Posted by: Mikou

ne pourrais tu pas encadrer ta fonction par -x²-(1/6) et x²+1/6 ?

Posted by: dilzydils

Par DL, c'est immédiat

Posted by: Sora

Comment ça!!!par DL?
Explique moi STP

Posted by: -Nico-

Travaillons tout d'abord sur l'intervalle $[0;+\infty]$

$sin(x) \le 1$

$sin(x)-x \le 1-x$

$\frac{sin(x)-x}{x^3} \le \frac{1-x}{x^3}$ (car $x^3$ supérieur à 0 sur $[0;+\infty]$ )
Or:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+} (\frac{1-x}{x^3})=\lim_{x\rightarrow 0^-}(\frac{-x}{x^3})$ (limite d'une fonction rationnelle)

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+} (\frac{1-x}{x^3})=\lim_{x\rightarrow 0^-}(\frac{-1}{x^2})$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+} (\frac{1-x}{x^3})=-\infty$ (car x² tend vers $0^+$ en 0)

Enfin, comme $\frac{sin(x)-x}{x^3} \le \frac{1-x}{x^3}$ , par comparaison de limite, on en déduit donc que:

$\lim_{x\rightarrow 0^+} (\frac{sin(x)-x}{x^3})=- \infty$

$\lim_{x\rightarrow 0^+} f(x)=- \infty$

De plus, $f(x)=\frac{sin(x)-x}{x^3}$ .

Donc $f(-x)=\frac{sin(-x)-(-x)}{(-x)^3}$

$f(-x)=\frac{-sin(x)+x}{-x^3}$

$f(-x)=\frac{-(sin(x)-x)}{-x^3}$

$f(-x)=\frac{sin(x)-x}{x^3}$

$f(-x)=f(x)$

On en déduit donc que f(x) est paire.

Or, comme $\lim_{x\rightarrow 0^+} f(x)=- \infty$ . De par la parité de f(x), on en déduit que:

$\lim_{x\rightarrow 0^-} f(x)=- \infty$

Ainsi:

$\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=- \infty$

Posted by: Sora

Tu as fait une grossière erreur!!! lim (1-x)/x^3 lorsque x ten vers 0+ est + l'infinie!!!

Posted by: Mikou

oui dailleurs la limite pour info est -1/6 dou les polynome que j'ai proposé

Posted by: Mikou

sur ]0,1]
$<br /> \frac{sin(x)-x}{x^3} \leq x^2 - \frac{1}{6}$ equivaut a
$x^5 - (\frac{1}{6})x^3 + x - sin(x)$ (notée f)
si tu montre que cette expression est positive linterval alors tu demontres la premier inegalite ( la seconde etant $\frac{sin(x)-x}{x^3} \geq -x^2 - \frac{1}{6}$ )
Pour cela tu peux par exemple deriver derivé 3 fois et conclure que 'f' est croissante, par prolongement elle admet donc un minimum en 0 lequel vaut 0, tu as donc bien
$<br /> \frac{sin(x)-x}{x^3} \leq x^2 - \frac{1}{6}$
de la meme facon tu aurais montré la seconde inegalité
tu as donc
$<br /> -x^2 - \frac{1}{6} \leq \frac{sin(x)-x}{x^3} \leq x^2 - \frac{1}{6}$
On utilise alors le th des gendarmes, et lon conclut que la limite de
$\frac{sin(x)-x}{x^3}$ en 0 ( par valeure superieure ) vaut -1/6

Posted by: Adam*

salut!
oui on peut utiliser les encadrements dans ce cas ( N.B: sin x =sigma(k de1àl'infini) (-1)^k(x^2k+1)/(2k+1)! : alors pour l'encadrer on s'arrête sur les moins du côté infirieur et sur les plus de l'autre côté ) mais aussi on peut utiliser le théorème de l'hôpital (qu'on peut démontrer)
le théorème est le suivant: soit f et g deux fonctions dérivables n fois sur IR et f(x0)=g(x0) alors lim (x--->x0) f(x)/g(x) = lim (x--->x0) f'(x)/g'(x) = lim (x--->x0) f"(x)/g"(x)=....

Posted by: big-bang

Montrer que : quel q soit x#0 :

l sinx-x l < l x^3 l/6 , cette relation est valable seulement pour x#0.

à toi de continuer .
.

Posted by: hero_h_2zef

inutile ici de partir dans des encadrements : le plus simple est d'écrire le développement limité du sinus à l'ordre 3 en 0 :
sin(x) = x - ((x^3)/6) + o((x^3)) ( x -> 0 )
( meilleur polynome approchant le sinus en 0 à l'ordre 3 )
d'ou directement :
(sin(x)-x)/(x^3)) = -1/6 + o(1) ( x -> 0 )
on retrouve bien cette limite de -1/6 en 0 .