Lieu de nombres complexes

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Posted by: Anae

Bonsoir
Je suis en 2ième année de prépa scientifique (MP) et j'ai un soucis avec un exercice d'oral de type CCP. Il est écrit qu'il est abordable en MPSI.

Décrire dans le plan complexe le lieu des nombres complexes u=1+z+z², où z décrit le cercle unité.

J'ai réussis a trouver deux éléments de réponse, mais je ne vois vraiment pas où nous devons arriver...

z appartient au cercle unité donc z=exp(i*théta)
de plus, 1+z+z² est en réalité la somme d'une série géométrique de raison z=exp(i*théta)

en effet 1+z+z²=série(n=0,2) exp(i*théta)^n

Merci d'avance pour votre aide
Bisous
Anae


Posted by: emdro

Bonsoir,

c'est bien. Tu as eu toutes les bonnes idées.
Maintenant, tu exprimes la somme de la série 1+z+z², et tu factorises haut et bas avec l'idée de l'angle moitié.

NB Tu fais attention au cas particulier z=1...


Posted by: Anae

Nous avons donc :

1+z+z²=(1-exp(i*théta)^n)/(1-exp(i*théta))
exp(i*théta) doit donc être différent de 1, ce qui explique que vous me disiez de faire attention au cas z=1

en factorisant en haut et en bas par exp(i*(théta/2)), nous avons finalement :

1+z+z²=[exp(i*(théta/2))*{exp(-i*(théta/2))-exp(n*i*(théta/2))}]/[exp(i*(théta/2))*{exp(-i*(théta/2))-exp(i*(théta/2))}]
Mais je ne vois pas en quoi cela m'avance dans la recherche du lieu des nombres complexes :(

Merci d'avance pour votre aide
Anae


Posted by: emdro

plusieurs petites améliorations:

*combien vaut n?
*au numérateur, factorise plutôt par exp(3ithéta/2) (angle moitié)
*pense aux formules d'Euler

Et avec tout cela, tu verras vite l'intérêt...


Posted by: Anae

n : nombre de termes. Donc ici n=3
la formule d'Euler : 2i*sin(théta)=exp(i*théta)-exp(-i*théta)
va nous être utile ici :)

je trouve en factorisant au numérateur par : exp(3*i*théta/2) et au dénominateur par exp(i*théta/2)
1+z+z²=exp(ithéta)*[sin(3*théta/2)/sin(théta/2)]

Que dois-je faire ensuite? Je suis désolée de poser sans cesse des questions mais je ne comprend pas où l'on doit arriver :(

Merci d'avance
Anae


Posted by: emdro

Eh bien tu y es!

Tu as obtenu l'équation polaire de l'ensemble recherché:
puisque 1+z+z²=exp(ithéta)*[sin(3*théta/2)/sin(théta/2)], cela te donne bien un complexe de "module" (éventuellement négatif, d'où les guillemets) sin(3*théta/2)/sin(théta/2) et d'"argument" théta.

Il te reste à étudier la courbe polaire rho=sin(3*théta/2)/sin(théta/2).
C'est une courbe classique que tu as déjà dû voir.


Posted by: yos

Alternative : z^2+z+1=z(z+1+\frac1z)=z(1+2Re(z))=z(1+2\cos\theta )et l'équation polaire est r=1+2\cos\theta.


Posted by: mathelot

Citation:
Posté par yos
Alternative : z^2+z+1=z(z+1+\frac1z)=z(1+2Re(z))=z(1+2\cos\theta )et l'équation polaire est r=1+2\cos\theta.


si \displaystyle \cos(\theta) \geq -\frac{1}{2}


Posted by: informix

je pense que si on pose Z = x+iy, avec la relation x²+y²=1, on peut aboutir à quelque chose.


Posted by: yos

Citation:
Posté par mathelot
si \displaystyle \cos(\theta) \geq -\frac{1}{2}

Non. Je parle d'équation polaire. On ne suppose pas r positif.










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