Ah les séries ...

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Posted by: bruce.ml

Je viens de me poser une question fort interessante ( du moins de mon point de vue ) :
étant donné un corps \bb{K}, trouver une base de \bb{K}[X] l'espace vectoriel des séries formelles univariées sur K.
si \bb{K} est infini, il semble qu'il n'existe pas de base dénombrable. Sinon c'est clair que oui.
Deuxième question : donner une expression d'une telle base, sous une forme compréhensible par un être humain j'entends :P

Bonne chance ;)


Posted by: bruce.ml

Ca n'a pas l'air de vous inspirer beaucoup tout ça !
En fait on semble avoir démontré que si le corps est infini alors il n'existe pas de base dénombrable, ensuite reste à trouver une belle base !


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par bruce.ml
Ca n'a pas l'air de vous inspirer beaucoup tout ça !


Ben si c'est très intéressant mais pour l'ouvrir faut avoir un truc intéressant à dire (quoique, voir la suite ... ;) )

Si K=\mathbb{R}, \bb{K}[X] est complet (au moins dans ce cas là) et un Banach n'a jamais de base dénombrable (conséquence de Baire).
D'après (ou en admettant, au choix) Zorn on sait qu'une base existe mais c'est comme les bases de Hamel, je crois pas qu'on sache en montrer une explicitement.










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