Lemme de Zorn et inductivité

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maxbellec
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Lemme de Zorn et inductivité

par maxbellec » 01 Mai 2010, 14:32

Bonjour,

Je dois passer mon TIPE dans deux jours et je viens de découvrir un problème majeur :cry:
Dans un premier temps, je démontre que l'axiome du choix implique le lemme de zorn sous la forme "tout ensemble strictement inductif admet un élément maximal", avec la définition suivante de strictement inductif : un ensemble est strictement inductif si toute partie non vide de cette ensemble totalement ordonnée admet une borne supérieure.

Le problème est que je veux ensuite montrer le théorème de la base incomplète en dimension quelconque, mais j'utilise pour cela le fait que l'ensemble des parties libre a un majorant, et non pas une borne supérieure, et donc est inductif mais pas strictement inductif.

Auriez vous une idée pour "réparer" le problème, par exemple montrer rapidement que les deux énoncé du lemme de Zorn, avec un ensemble strictement inductif ou simplement inductif sont équivalents.

Merci !



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Ben314
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par Ben314 » 01 Mai 2010, 14:54

Il n'est pas trés difficile de montrer qu'il y a équivalence entre le lemme de Zorn "faible" (i.e où on suppose l'ensemble strictement inductif) et le Lemme de Zorn "fort" (i.e ou on suppose l'ensemble faiblement inductif : toute partie totalement ordonnée non vide est majorée)

Faire attention : il existe des ensembles faiblement inductif sans être fortement inductif, mais ça n'empèche pas les deux Lemmes de Zorn d'ètre équivalents.

Dans le sens Zorn "fort" => Zorn "faible", il n'y a rien à démontrer.

Dans l'autre sens, on suppose Zorn "faible" et on considère un ensemble I faiblement inductif.
Tu considère alors l'ensemble J des parties totalement ordonnées de I muni de la relation d'inclusion et, sauf erreur, J est fortement inductif donc on peut lui appliquer Zorn "faible"...
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maxbellec
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par maxbellec » 01 Mai 2010, 15:14

Merci pour cette réponse rapide :we:

La démonstration me semble bonne mais je n'arrive pas à montrer, justement, que J est strictement inductif : pourquoi une partie de J a-t-elle une borne supérieure ?

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Ben314
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par Ben314 » 01 Mai 2010, 15:27

Les éléments de J sont des parties de I.
Si tu as une partie X de J tu peut donc prendre la réunion des éléments de X (qui sont des parties de I).
Cette réunion est une partie de I et, si tu prouve que c'est un élément de J (assez façile), ce sera évidement lui le sup de X (pour la relation d'ordre sur J, c'est à dire l'inclusion)
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maxbellec
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par maxbellec » 01 Mai 2010, 16:11

Ben314 a écrit:Les éléments de J sont des parties de I.
Si tu as une partie X de J tu peut donc prendre la réunion des éléments de X (qui sont des parties de I).
Cette réunion est une partie de I et, si tu prouve que c'est un élément de J (assez façile), ce sera évidement lui le sup de X (pour la relation d'ordre sur J, c'est à dire l'inclusion)


Merci j'essaye de rédiger ca :
Soit J={B app P(I) / B muni de la relation d'inclusion est totalement ordonné}

Soit X app P(J), X totalement ordonnée.
On pose S=l'union des éléments de X.
Comme chacun des éléments de X est une partie de I, S est une partie de I.


Une fois que l'on a montré que S est totalement ordonné, S est un majorant de X puisque :
- pour tout y app X, y app à l'union des x pour x app X
- Si M est un majorant de X, pour tout x app X, x inclu dans M, donc la réunion des x est inclu dans M, donc S inclu dans M
S est donc bien le plus petit des majorants de X.

Donc J est strictement inductif, donc il admet selon Zorn faible un élément maximal.

Montrons donc que S est totalement ordonné.
Soit (A,B) app S^2
Puisque X est totalement ordonné ...
Je vois pas trop comment continuer :hum:
Mais d'ailleurs pourquoi dont-on montrer que S app J ? Ne suffit-il pas de montrer que S est le sup de X ?

Une fois que l'on a montré que J a un élément maximal, comment montrer qu'il en est de même pour I ?

Doraki
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par Doraki » 01 Mai 2010, 16:25

Soit M un élément maximal de J.
M est donc une partie totalement ordonnée de I.
Soit m un majorant de M dans I (qui est faiblement inductif).
Alors m est maximal dans I :

En effet, si on a un s > m dans I,
alors M union {s} > M dans J (pour tout x de M, s > m >= x, donc s n'est pas dans M).
Ceci contredit la maximalité de M dans J.

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Ben314
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par Ben314 » 01 Mai 2010, 16:39

Bon, dans l'ordre :
Derrière ton "Soit J={...}", pour que ce soit clair, rajoute "ordonné par inclusion".

Ensuite, "pourquoi montrer que S appartient à J ?"
ben, il faut que tu montre que l'ensemble ordoné (J,inclusion) est fortement inductif donc, évidement, les bornes sup, il faut qu'elles soient dans J (à priori, la réunion des éléments de X, tout ce que tu en sait, c'est que c'est une partie de I)

Pour la preuve :
Quand tu prend tes deux éléments a et b dans S (S est une partie de I, ces éléments sont des éléments de I) comme S est la réunion des éléments de X, il existe deux éléments A et B de X tels que a dans A et b dans B.
Sauf que X est supposé totalement ordonné pour l'inclusion donc A est contenu dans B (ou le contraire, c'est pareil) et, en fait a et b sont dans B.
Or B est un élément de X, donc en particulier un élément de J, ce qui signifie que B est totalement ordonné.
donc a est plus petit que b (dans I) ou le contraire.

Pour la fin :
Une fois que tu as un élément B de J maximal (pour l'inclusion), B est une partie totalement ordonnée de I (par déf de J) et, comme I est supposé faiblement inductif, la partie B de I est majorée par au moins un élément b de I.
Si on considère la réunion C de B et du singleton {b}, elle est totalement ordonnée (donc c'est un élément de J) et elle contient B.
Par maximalité de B, on a donc C=B ce qui prouve que b est en fait un élément de B.
En fait, comme on a pris un majorant b de B au pif, cela prouve que tout majorant de B est dans B ce qui implique que le majorant de B est unique et donc que c'est un élément maximal de I.

Je trouve la preuve assez jolie, mais il ne faut pas trop s'embrouiller entre "parties" et "éléments" donc entre "appartenance" et "inclusion"...

Edit : Grillé par doraki : j'avais qu'à être plus rapide...
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maxbellec
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par maxbellec » 01 Mai 2010, 17:21

Merci beaucoup a vous deux, Goraki et Ben314 pour vos réponses.
Plus spécialement bien sur a Ben pour ses multiples réponses détaillées.
Je pense que ca ira maintenant je vous redemande sinon !

PS: La question est un peu indiscrète, mais que faites vous ou avez vous fait comme étude ?

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Ben314
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par Ben314 » 01 Mai 2010, 22:38

ben, j'ai fait... des math...
+ précisément la fac de la première année à la thése (jamais finie...) en passant par l'agreg.
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