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Vieux 23/08/2005, 23h16
RadarX
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Par défaut Lemme de Gauss

Dans une preuve de ce lemme de Gauss, il ya une affirmation qui me parait ...suspecte. voir en rouge entre parentheses.
Mais je donne quand meme toute la preuve, ca peut servir dans le forum.

LEMME DE GAUSS: A un anneau principal et p€A un element irreductible. Alors si a et b €A tels que p divise ab, p divise a ou b.

PROOF:Supp que p ne div pas a et soit l'ideal (p,a).
A etant principal, il existe c€A t.q. (p,a) = ( c).
Par suite il exsite x et y €A t.q. p = cx et a = cy
Comme p ne div pas a, il ne div pas c.
Et puisque p est irreductible, il divise x (LA EST MON PROBLEME)
Il existe alors u€A t.q. x = pu et, en simplifiant l'egalité p = cpu on a 1 = cu ==> c est inversible et (c) = A.
Ainsi il existe f et g € A t.q. 1 = pf + ag ==> b = bpf +bag. Comme ab multiple de p, b est alors multiple de p. QED.



Dernière modification par RadarX 24/08/2005 à 14h52.
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Vieux 23/08/2005, 23h28
Non inscrit
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p=cx => p|cx
(p irr et p divise pas c) => p|c
 
Vieux 23/08/2005, 23h36
RadarX
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Citation:
Posté par Non inscrit
p=cx => p|cx
(p irr et p divise pas c) => p|c

p|x voulais-tu sans doute ecrire; j'ai compris , mais cela ne repond pas a ma question. En fait, avec cette affirmation en rouge, j'ai l'impression qu'on a utlisé ce qu'on voulait justement montrer! Vois tu?

RadarX.
RadarX est déconnecté  
Vieux 24/08/2005, 01h58
Nightmare
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Bonjour

Puisque p est irréductible et ne divise pas c, alors 3$\rm p\wedge c=1
Ainsi d'aprés le théorème de Bezout il existe deux éléments u et v de A tels que :
3$\rm up+vc=1
Donc :
3$\rm x=upx+vcx
Or p|upx et p|vcx donc p|x

Je ne vois pas où l'on a utilisé ce qu'on veut démontrer ici


Jord
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Vieux 24/08/2005, 11h52
RadarX
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Citation:
Posté par Nightmare
Bonjour

Puisque p est irréductible et ne divise pas c, alors 3$\rm p\wedge c=1
Ainsi d'aprés le théorème de Bezout il existe deux éléments u et v de A tels que :
3$\rm up+vc=1
Donc :
3$\rm x=upx+vcx
Or p|upx et p|vcx donc p|x

Je ne vois pas où l'on a utilisé ce qu'on veut démontrer ici


Jord


Pourquoi alors au lieu de faire toute cette dissertation dans la preuve, on n'a pas dit comme toi: p|ab et, en supposant que p ne div pas a (il est donc premier avec a) alors il div b. C'aurait été plus simple!

On utilise d'habitude cet argument de Bezout pour montrer dans Z que si a|cb et a premier avec b, alors il divise c. Dans un anneau principal quelconque, j'ai l'impression qu'il y a d'autres subtilités;
En l'occurence pourquoi si p irreductible et et ne div pas a alors il est premier avec b (dans un anneau principal qcq)???

RadarX.
RadarX est déconnecté  
Vieux 24/08/2005, 12h07
Nightmare
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Citation:
En l'occurence pourquoi si p irreductible et et ne div pas a alors il est premier avec b (dans un anneau principal qcq)???


Je pense que tu veux dire :
"Alors il est premier avec a"

si p est irreductible, alors ses seuls diviseurs sont lui même et 3$\rm 1_{A}
Si b n'est pas divisible par p, alors le seul diviseurs qu'ils aient en commun est 3$\rm 1_{A} (car b n'admet pas p comme diviseur) d'où le fait que p et b soient étrangers


Jord
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Vieux 24/08/2005, 14h35
RadarX
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"si p est irreductible, alors ses seuls diviseurs sont lui même et 1"

Les seuls diviseurs de p (irreductible) seraient plutot tous les inversibles et les associes de p.
D'ailleurs dans la partie en rouge de la preuve ou j'ai un probleme, je pense n'etre en mesure que de dire: "PUISQUE p EST IRRED, ALORS c OU x EST INVERSIBLE" et pas autre chose!

RadarX.

Dernière modification par RadarX 24/08/2005 à 14h40.
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Vieux 24/08/2005, 14h36
Nightmare
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pourquoi p irréductible serait-il divisible par les inversibles ?
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Vieux 24/08/2005, 14h40
sept-épées
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Par défaut inversibles d'un anneau

les inversibles divisent tout le monde, ils te divisent même toi, Nightmare!
 
Vieux 24/08/2005, 14h41
RadarX
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Par definition d'un irred p,
* p non inversible
* si p = ab alors a ou b est inversible.
"Il n'est pas marrant 7-Glaives!!?"
RadarX.
RadarX est déconnecté  
Vieux 24/08/2005, 14h44
Nightmare
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Autant pour moi j'avais une mauvaise définition de l'irréductible
Nightmare est déconnecté  
Vieux 24/08/2005, 21h32
RadarX
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Par défaut Aloooors???

Apparemment personne n'aime le Lemme de Gauss
Ou que cela n'inspire personne!

RadarX.
RadarX est déconnecté  
Vieux 25/08/2005, 13h19
sept-épées
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Messages: 89
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Si j'ai bien suivi, la partie de la preuve qui manque, c'est :

"si p est irréductible et ne divise pas a, alors (p,a)=A"

allons-y :

A étant principal, (p,a)=(c) . Mais alors c divise p qui est irréductible donc (c)=(p) ou (c)=A (par définition d'un irréductible). Et si (p,a)=(c) était égal à (p), p diviserait a, ce qui est exclu. Donc (p,a)=A.

Questions : le lemme de Gauss est-il encore vrai dans un anneau factoriel? bezoutien? dans un anneau où le pgcd existe? j'attends des preuves ou des contre-exemples (je cherche aussi).
sept-épées est déconnecté  
Vieux 25/08/2005, 13h44
phenomene
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Par défaut

Citation:
Posté par sept-épées
Questions : le lemme de Gauss est-il encore vrai dans un anneau factoriel? bezoutien? dans un anneau où le pgcd existe? j'attends des preuves ou des contre-exemples (je cherche aussi).


Il est vrai dans un anneau factoriel (c'est l'unicité de la décomposition en facteurs irréductibles qui joue), et c'est bien pratique pour travailler dans des anneaux de polynômes à plusieurs indéterminées, qui sont factoriels mais non principaux.
phenomene est déconnecté  

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