laplacien en coordonnées polaires

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Posted by: nemesis

bonjour a tous
soit z=f(x,y) une fonction verifiant l'equation de Laplace,c'est a dire \triangle f(x,y) =0, pouriez vous m'aider à l'exprimer en coordonnées polaires ,je voudrais en fait exprimer l'equation de Laplace en coordonnées polaires.

merci d'avance


Posted by: thedream01

en considérant f une fonction de classe C2 et v(r,e)=f(r*cos(e),r*sin(e)). On a: Laplacien de f(r*cos(e),r*sin(e)) est égal à:
(la dérivée seconde /r de v)+(1/r²)*(la dérivée seconde /e de v)+(1/r)*(la dérivée première /r de v).


Posted by: nemesis

salut
et comment y'est tu arrivé


Posted by: thedream01

alors, comme je ne connais pas le language Latex, ça sera dur à décripter:
on va calculer le Laplacien en coordonnées polaires de f(x,y)

tu poses:
x=r*cos(e) et y=r*sin(e)
(la dérivée première /x de f)=w(r,e)=u(x,y)

alors:
(la dérivée seconde /x de f)=cos(e)*(la dérivée première /r de w)-(sin(e)/r)*(la dérivée première /e de w).

en utilisant les derivées partielles premières de u /x et /y et en calculant les derivées partielles premières de w /r et /e tu obtients (la dérivée seconde /x de f) et (la dérivée seconde /y de f).
d'où le resultat...


Posted by: nemesis

desole mais je ne vois pas encore comment t'as fait


Posted by: thedream01

quel passage n'as-tu pas compris?
Il suffit de faire les calculs et de remplacer.


Posted by: nemesis

je n'ai pas compris comment tu as obtenu
Citation:
Posté par thedream01
=cos(e)*(la dérivée première /r de w)-(sin(e)/r)*(la dérivée première /e de w).



Posted by: nemesis

oh c'est bon ,j'avai une erreur sur ma feuille


Posted by: thedream01

si tu notes:
h(x,y)=(la dérivée première /x de f).
et tu poses: g(r,e)=h(x,y)=h(r*cos(e),r*sin(e)).
alors tu peux calculer les derivées partielles premières de g /r et /e en fonction des dérivées de h.
et en utilisant les combinaisons linéaires adéquates, tu obtients les derivées partielles premières de h /x et/y, donc les dérivées partielles secondes de f.


Posted by: thedream01

C'est bon?


Posted by: nemesis

ou c'est bon ,maintenant on me demande de resoudre le cas F(r,e)=F(e),et la je vois pas trop ce qu'il faut faire










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