laplacien en coordonnées polaires

nemesis

bonjour a tous
soit z=f(x,y) une fonction verifiant l'equation de Laplace,c'est a dire , pouriez vous m'aider à l'exprimer en coordonnées polaires ,je voudrais en fait exprimer l'equation de Laplace en coordonnées polaires.

merci d'avance

thedream01

en considérant f une fonction de classe C2 et v(r,e)=f(r*cos(e),r*sin(e)). On a: Laplacien de f(r*cos(e),r*sin(e)) est égal à:
(la dérivée seconde /r de v)+(1/r²)*(la dérivée seconde /e de v)+(1/r)*(la dérivée première /r de v).

nemesis

salut
et comment y'est tu arrivé

thedream01

alors, comme je ne connais pas le language Latex, ça sera dur à décripter:
on va calculer le Laplacien en coordonnées polaires de f(x,y)

tu poses:
x=r*cos(e) et y=r*sin(e)
(la dérivée première /x de f)=w(r,e)=u(x,y)

alors:
(la dérivée seconde /x de f)=cos(e)*(la dérivée première /r de w)-(sin(e)/r)*(la dérivée première /e de w).

en utilisant les derivées partielles premières de u /x et /y et en calculant les derivées partielles premières de w /r et /e tu obtients (la dérivée seconde /x de f) et (la dérivée seconde /y de f).
d'où le resultat...

nemesis

desole mais je ne vois pas encore comment t'as fait

thedream01

quel passage n'as-tu pas compris?
Il suffit de faire les calculs et de remplacer.

nemesis

je n'ai pas compris comment tu as obtenu

nemesis

oh c'est bon ,j'avai une erreur sur ma feuille

thedream01

si tu notes:
h(x,y)=(la dérivée première /x de f).
et tu poses: g(r,e)=h(x,y)=h(r*cos(e),r*sin(e)).
alors tu peux calculer les derivées partielles premières de g /r et /e en fonction des dérivées de h.
et en utilisant les combinaisons linéaires adéquates, tu obtients les derivées partielles premières de h /x et/y, donc les dérivées partielles secondes de f.

thedream01

C'est bon?