Laplace - Système d'équations diff

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Julien57160
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Laplace - Système d'équations diff

par Julien57160 » 01 Juil 2010, 17:40

Bonjour à tous,

Je dois résoudre un système d'équation différentielles à l'aide des transformées de laplace.

J'y arrive bien lorsqu'il s'agit d'une équation, mais j'ai du mal pour un système..

x'(t) = z(t)
y'(t) = x(t)
z'(t) = y(t)

avec les C I :
x0=3
y0=0
z0=0

Franchement la je suis perdu ! :cry:



windows7
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par windows7 » 01 Juil 2010, 17:46

salut

tu peux eventuellement montrer que x,y,z sont de classe C infini

et regarde precisement x''' , y ''', z '''

valentin.b
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par valentin.b » 01 Juil 2010, 20:43

Bonsoir,

Il y a la méthode avec les matrices. Tu regarde la matrice du système, tu cherche les valeurs propres (je confirme qu'il y en a trois distinctes), tu te mes dans la base qui va bien, tu calcules l'exponentielle de matrice, et tu retrourne dans ta base sachant que ta solution est de la forme X_0*exp(t*M) où X_0 est ta condition initale et M la matrice dont je parlais.

Je ne sais pas si tu sais faire donc n'hésite pas a demander plus de détails !

windows7
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par windows7 » 01 Juil 2010, 20:52

ouai ou alors x'''=x , y'''=y et z'''=z, c'est plus simple ici

Julien57160
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par Julien57160 » 01 Juil 2010, 22:40

Salut à tous,

Voila ce que j'ai fais:

Px -1 = 2x -y
Py -1 = x + z
Pz -1 = -x + y + z

x (P-2) + y = 1
x -py +z = -1
x -y +z(p-1) = 1

J'ai mis tout ça sous forme matricielle, en résolvant le système avec la règle de Cramer je trouve x, y, z...
Je décompose en éléments simple les résultats, et je transforme tout ça avec Laplace.... la classe nan ? :zen:

windows7
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par windows7 » 02 Juil 2010, 02:37

c'est du foutage de gueule je trouve bref la prochaine fois se sera sans moi :zen:

JeanJ
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par JeanJ » 02 Juil 2010, 10:08

citation : " la classe nan ? "
Oui, ca, c'est la classe (d'aujourd'hui)
Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?
Parce que c'est plus beau sans doute.
Mais il y a beauté et beauté : à chacun ses goûts.
Le pragmatisme a aussi sa beauté.

Black Jack

par Black Jack » 02 Juil 2010, 20:39

Oui, pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué.
Comme "La" solution a été trouvée, voila la mienne (qui a été déjà suggérée).

x''' = x
p³ = 1
p1 = 1; p2 = -1/2 - (V3 /2)i ; p3 = -1/2 + (V3 /2)i

x = C.e^t + e^(-t/2).(A.sin(t.V3 /2) + B.cos(t.V3 /2))

z = x' = C.e^t + e^(-t/2).[(-A/2 - B.V3 /2).sin(t.V3 /2) + (-B/2 + A.V3 /2).cos(t.V3 /2)]

y = z' = C.e^t + e^(-t/2).[(A/4 + B.V3 /4 + B.V3 /4 - A.3/4).sin(t.V3 /2) + (B/4 - A.V3 /4 - A.V3 /4 - B.3/4).cos(t.V3 /2)]
y = C.e^t + e^(-t/2).[(B.V3 /2 - A/2).sin(t.V3 /2) - (A.V3 /2 + B/2).cos(t.V3 /2)]

C + A + B = 3
C - A.V3 /2 - B/2 = 0
C - B/2 + A.V3 /2 = 0

A = 0; B = 2 ; C = 1

x = e^t + 2.e^(-t/2).cos(t.V3 /2)
y = e^t + e^(-t/2).[V3 .sin(t.V3 /2) - cos(t.V3 /2)]
z = e^t + e^(-t/2).[-V3 .sin(t.V3 /2) - cos(t.V3 /2)]

:zen:

Julien57160
Membre Naturel
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par Julien57160 » 03 Juil 2010, 12:04

Hannn c'est bon j'étais tellement content d'avoir quelque chose pour une fois, que j'ai pas pu m'empêcher de sortir cette petite rime ( oui laplace laclasse.... bref) :zen:

JeanJ
Membre Relatif
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par JeanJ » 03 Juil 2010, 13:00

Salut Julien57160,
c'est bon j'étais tellement content d'avoir quelque chose pour une fois...

Mon observation ne tire pas à conséquence ! C'est très bien, aussi, de maîtriser une méthode plus générale dont on ne peut pas se passer dans des cas plus compliqués que celui dont il était question.

 

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