Lancés de dé

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Posted by: Non inscrit

Combien y a-t-il de jets possibles lorsqu'on lance n dés identiques à 6 faces ?

Vous avez des idées ?

Ben


Posted by: de_passage

6^n ( pour deux dés par exemple ça fait 36 )


Posted by: thomasg

tout dépend si tu les lance les uns après les autres en notant l'ordre, ou si cela n' a pas d'importance, dans le deuxième cas la réponse est
n!/((n-6)!*6!) (il me semble, désolé si c'est faux)


Posted by: Non inscrit

Citation:
Posté par de_passage
6^n ( pour deux dés par exemple ça fait 36 )


je suis d'accord c'est juste


Posted by: mathador

Bonjour
Je confirme ce que dit Thomasg : d'après l'énoncé, l'ordre ne compte pas (puisque les dés sont identiques); on a donc la formule indiquée : n!/((n-6)!*6!).
A mon avis (très personnel) la réponse n'est pas 6^n : cela impliquerait par exemple qu'avec 3 dés on distingue 1-1-6 de 1-6-1 et de 6-1-1... or les il est bien précisé que les dés sont "identiques".
Bonne continuation


Posted by: Non inscrit

Oui ici, l'ordre des dés ne compte pas en effet donc ça ne peut pas être 6^n. Si on prend n=2, il y a 21 possibilités.

Quand à la réponse proposée égale au nombre de combinaisons de 6 parmi n, cela ne peut pas marcher pour n inférieur à 6 et pour n supérieur à 6, si on prend n=7, cela veut dire qu'il y aurait 7 jets possibles, j'en doute fort.

Comme quoi, elle est pas simple cette question ....

++

Ben


Posted by: Non inscrit

C'est effectivement un problème assez compliqué qui peut casser la tête à beaucoup de gens...


Posted by: Alpha

J'ai lu le message à l'initiative de cette discussion (cf plus haut, lancé de n dés),

et j'ai quelque peu réfléchi au problème posé, mais je n'ai pas réussi à trouver de solution, car j'ai peu de temps,

mais de plus le problème semble assez compliqué,

c'est pourquoi, étant très curieux de connaître la solution,

j'en appelle aux meilleurs matheux d'entre vous pour résoudre ce problème !


Merci

;)


Posted by: thomasg

j'essaye avec des sommes

1 tirage : 6
2 tirages : somme (de i=1 à 6) de i
3 tirages : somme (de i=1 à 6) de (6-i)(1+i)

j'ai pas le temps de continuer, mais effectivement le problème peut se montrer intéressant

au revoir


Posted by: thomasg

personne pour continuer ?


Posted by: Alpha

Il faut voir cela comme un problème de distribution de n boules dans p cases différentes avec p-1 cloisons entre ces cases.

En réfléchissant un peu on voit que l'ensemble des répartitions possibles des n boules dans ces p cases est n parmi n+p-1.

En prenant n=2 et p=6 on trouve 21 possibilités : ça fait plaisir.


Ce soit j'ai beaucoup de choses à faire (overbooké!), quand j'aurais plus de temps j'expliquerai pourquoi c'est cette formule qui correspond à ce problème.


Alpha

;)


Posted by: chevalier3as

salut,
voicila reponse , :) pour 2 de le nombre de possibilite est 6! , pour 3 le nb est 6.6! pour 4 est 6.6.6! ; si tu dessine un shema tu trouvera que le nb de possibilite entre n est n+1 est ; alors p(n+1)=p(n).6 suite geometrique
alors et puisque p(2)=6!
p(n)=6^(n-2).6! :cool:
si qqna un autre avis je serai tres heureu de lentendre
merci


Posted by: krou

Citation:
Posté par chevalier3as
salut,
voicila reponse , :) pour 2 de le nombre de possibilite est 6!
merci


6! = 720 possibilités pour 2 dés à 6 faces?????

en imaginant que l'ordre compte on obtient au maximum 36 possibilités, je trouve 720 légèrement bcp :D


Posted by: thomasg

j'ai pas encore eu le temps de retravailler dessu mais vous pouvez regarder mon message du 27/05:
j'essaye avec des sommes

1 tirage : 6
2 tirages : somme (de i=1 à 6) de i
3 tirages : somme (de i=0 à 6) de (6-i)(1+i)


Posted by: Alpha

Salut,

Je n'ai toujours pas le temps d'expliquer pourquoi n parmi n+p-1 est la bonne formule (en prenant p=6, le nombre de cases, correspondant au nombre de faces),

mais je trouve cela dommage que vous répondiez à des questions sans avoir lu toute la discussion, car c'est du temps perdu.

Si vous aviez tous lu la discussion, vous auriez vu qu'on ne tient pas compte de l'ordre, et que pour 2 dés on trouve exactement 21 possibilités (pour s'en convaincre, lire d'abord toute la discussion puis écrire tout les possibilités, puis barrer celles qui sont les mêmes à une permutation près des éléments).

par conséquent une formule comme 6! est absolument fausse, au premier coup d'oeil, car ce nombre est pair alors que 21 est impair.


Tiens, il me vient une idée : et si vous cherchiez pourquoi c'est n parmi n+p-1 ? ;)

Ceci dit il existe peut-être plusieurs façons d'exprimer la solution.

;)

Alpha


Posted by: chevalier3as

Citation:
Posté par krou
6! = 720 possibilités pour 2 dés à 6 faces?????

en imaginant que l'ordre compte on obtient au maximum 36 possibilités, je trouve 720 légèrement bcp :D

ehoh cest vrai jai commi une erreur plutot de mettre 1+2+3+..+6 jai ecris 6!
cest a dire 6.7/2=21
en plus ma methode donne plus de cas que possible car il ne faut pas compter les cas repetes comme 1-1-6 1-6-1 6-1-1
tu peu essayer decalculerle nombre de cas repetes etles soustraire du nombre total :D


Posted by: Alpha

Lorsque l'on dit que l'on lance n dés en même temps, sans qu'on puisse les discerner par leur ordre, et qu'on veut savoir le nombre de tirages possible,

le fait de ne pas tenir compte de l'ordre revient, pour chaque tirage, à ne considérer que le nombre de 1, le nombre de 2, ...., le nombre de 6.

C'est-à-dire qu'un tirage est entièrement déterminé par le nombre de 1, le nombre de 2, .... le nombre de 6, donc deux tirages sont différents dès que le nombre de dés affchant l'un des numéros est différent dans ces deux tirages.

Par conséquent, lancer n dés puis compter le nombre de fois que chacun des p numéros (ici p=6, le nombre de faces) possibles apparaît peut se traduire par un tableau de 2 lignes et p cases dans lequel on note le nombre d'apparitions de chaque numéro :

numéro : 1 2 3 4 5 6

nombre d'apparitions : a b c d e f

On voit donc qu'on peut aussi interpréter le lancé des n dés comme le lancé de n boules qu'on distribuerait aléatoirement dans p colonnes. A la fin, chaque colonne contient un certain nombre de boules, la colonne 1 un nombre a, etc..., l'uplet (a,b,c,d,e,f) caractérisant le tirage.


Voilà, le problème est clairement (du moins je l'espère :) ) posé.


Ensuite, on a nos p colonnes, qui sont séparées par p-1 barres verticales, et on considère ensuite l'ensemble de n+p-1 symboles formés par les boules et les barres.


Et maintenant, le point délicat :


l'ensemble des tirages possibles des boules (ce que l'on entend par tirage étant défini plus haut)

est l'ensemble des combinaisons des n symboles "boules" parmi l'ensemble des n + p - 1 symboles.

En effet, si j'écris un (n+p-1) uplet ( , , , ..., , , ) comme celui-ci, dans lequel je n'ai pas rempli ce qu'il y a entre les virgules, et que maintenant je remplis cet uplet par n boules que je positionne aléatoirement dans cet uplet, , il restera ensuite (p-1) cases de libres, dans lequel je n'aurai plus qu'à insérer les barres. Et j'aurai mon tirage.

Et j'ai bien effectué un choix de n éléments parmi n+p-1. :cool:



Voilà, j'espère avoir été clair, en tout cas j'ai fait de mon mieux!


;)


Alpha


Posted by: mathador

Bonjour,
je suis admiratif devant la détermination et l'évident souci de clarté d'Alpha !
J'étais initialement partisan d'un nombre de combinaisons égal à n!/((n-6)!*6!) ; mais la représentation avec les boules me convainc : ce modèle doit bien être faux, et la solution d'Alpha semble juste (je dis bien "semble", parce que j'ai lu rapidement; et si je suis 100% d'accord sur le début, je n'ai pas encore creusé sur la fin, mais je le ferai), elle est en tout cas très pertinente et intéressante à mon goût.
Magnifique problème, je trouve : un énoncé tout simple, des idées qui fusent, d'autres problèmes qui apparaîssent ... C'est pour ça qu'on aime les maths !!!
Bonne continuation à toutes et à tous


Posted by: mathador

Re bonjour,
je crois avoir capté l'astuce : elle m'apparaît tout à fait remarquable ! Je suis donc d'accord avec cette solution pour le moins inattendue ... du Grand Art, cher Alpha ! :D


Posted by: thomasg

Bonjour,

après lecture attentive (et confrontation avec l'ersatz de solution que j'avais ébauché), la solution d'alpha me semble bonne.
Merci pour cette réponse et l'énergie que tu as du dépenser pour trouver et l'expliquer clairement.

Au revoir.


Posted by: Non inscrit

Impressionné alpha ! Du tres bon travail : clair et precis, cela me laisse quelque peu admiratif


Posted by: Alpha

Merci, j'ai fait de mon mieux!

;)


Posted by: Non inscrit

Lancer 5 dés revient à jouer au poker (sec). Que peut-on espérer au premier jet ?
Voici les cas possibles :
5 dés différents (pas de chance) : C(6,5)=6
4 identiques + 1 autre différent (chouette : carré !) : 6*5=30
3 identiques + 2 différents (brelan) : 6*C(5,2)=6*10=60
2 identiques + 3 différents (entre eux et de la paire=une paire) : 6*C(5,3)=6*10=60
2 identiques + 2 autres identiques + 1 différent des premiers (deux paires) = C(6,2)*4=60 (On a un C(6,2) car deux paires consistent à choisir deux dés différents parmi 6 ; le 4 vient du fait que l’on ne peut choisir qu’une face parmi les 4 restantes)
3 identiques + 2 autres identiques (full) : 6*5=30
5 identiques (poker !) : 6
Total = 6+30+60+60+60+30+6=252

Si j'ai bien compris la formule d'Alpha, c'est la combinaison C(n+p-1,n) avec n le nombre de dés et p=6 le nombre de faces. Donc c'est C(n+5,n) qui donne pour n=5 : C(10,5)=252. ca colle !

Remarque : C(n+5,n)=C(n+5,5)= n !/[(n-5) ! 5 !].

Question annexe : a-t-on autant de chances d’avoir cinq dés tous différents que cinq dés identiques ?


Posted by: Non inscrit

Remarque : C(n+5,n)=C(n+5,5)= (n+5)!/(n!5!) encore plus simple !

Question : pourquoi ne s'aperçoit-on de ses erreurs >> qu'après << le départ du message ?


Posted by: Alpha

Salut,

on s'en aperçoit après, car, pendant, on met trop de hâte à le rédiger, et qu'on ne possède pas l'oeil critique que l'on a une fois que le message est affiché.

Mais peux-tu préciser ce que tu entends par dés identiques et dés différents?
Ce sont des dés qui, une fois lancés, affichent des numéros identiques ou différents, je suppose.

Tu dis : "si j'ai bien compris la formule d'Alpha"... Cela voudrait-il dire que tu n'es pas sûr de l'avoir bien comprise? Je peux éventuellement essayer de t'éclairer si tu n'as pas compris mon explication. ;)


Posted by: Non inscrit

1- Le pire est que je n'ai mis aucune hâte à rédiger... j'ai laissé une formule fausse traîner pendant 8 jours !

2- Les dés n'ont pas d'individualité propre : ce qui compte, c'est le chiffre qu'ils affichent. C'est pour ça que l'exemple du poker que semblait bien. Avec des cartes, c'est différent, puisque la couleur intervient. Si j'ai (1,2,3,4,6) aux dés, je n'ai rien. Aux cartes, j'ai peut-être une "couleur".

3- Les p=6 cases de ta démontration correspondent aux six faces. A quoi correspondent concrêtement les cinq cloisons que tu ajoutes ?


Posted by: Alpha

Salut,

comme je l'ai dit dans ma solution, un tirage est déterminé par le nombre de 1, le nombre de 2, le nombre de 3, ..., le nombre de 6, donc le nombre de tirages possibles est le même que le nombre de façon de distribuer n boules dans 6 colonnes.

Le nombre de boules dans la colonne n°1 correspond au nombre de dés affichant le 1, et idem pour les autres colonnes jusqu'à la 6ème.

Maintenant, si je prend mes n boules et qu'avec je remplis un n+6-1 = n+5 uplet avec ces n boules (en utilisant le symbole O pour une boule par exemple), de façon aléatoire, il reste 5 espaces libres. Si je les remplis chacun avec une "cloison" notée /, on verra bien que les boules sont réparties selon les 6 colonnes dont j'ai parlé au début.

Je pense que pour formuler la chose de façon plus rigoureuse, il y a une bijection entre l'ensemble des tirages possibles de n boules dans les 6 colonnes et l'ensemble des uplets que l'on peut former en remplissant un n+p-1 uplet de la façon dont je l'ai indiquée.

En effet, à tout tirage de n boules dans 6 colonnes correspond une unique représentation avec n boules et 5 cloisons, et à toute représentation avec n boules et 5 cloisons correspond un unique tirage de n boules dans 6 colonnes.

Prenons n=10, et un tirage dans 6 colonnes, par exemple :

O
O O
O O
O O O O O

(4 boules dans la 1ère colonne, , 1 dans la 2ème, 3 dans la 3ème, 1 dans la 4ème, aucune dans la 5ème et 1 dans la 6ème).

Je peux représenter ce tirage aussi de la façon suivante :

(OOOO,/,O,/,OOO,/,O,/,/,O).

J'espère que ceci aura pu t'éclairer...

Si quelqu'un connait une meilleure façon d'expliquer plus rigoureusement et plus clairement la façon dont j'ai résolu le problème, je suis preneur, car je suis loin d'être un expert en dénombrement (on n'en fait plus en MPSI).

;)


Posted by: Non inscrit

Merci Alpha.


Posted by: Non inscrit

En y regardant rapidement, la question est un peu vague.

on lance simultanément?
on lance un par un sans remise?
faut il tenir compte de l'ordre? (alors 1-6-1... # 1-1-6... par ex)
faut il tenir compte ou non des jets identiques s'il n'y a pas d'ordre?

faut préciser là!


Posted by: Alpha

Salut,

Justement, il ne faut pas "y regarder rapidement" !!!

Prends le temps de lire toute cette discussion et tu comprendras le sens exact de la question initiale, qui, il est vrai, n'était pas précise.

;)










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