fct kieme derivable..!!!

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: mostdu95

bonsoir
soit T_n l'ensemble des fonctions f de R ds R DEFINIES par :
f(x)=\displaystyle \sum_{j=0}^{n}{a_jcos(jx)+b_jsin(jx)} a_j et b_j st des reels et les elmts de T_n st les polynomes de degre inferieur ou egale a n
Montrer que pour tout k ds N, la derivee K ième de f est dans T_n
j'ai choisi de faire un raisonnement par recurrence donc j'ai suppose que c'est vrai au rong n-1 mais j'arrive pas a montrer que c'est vrai au rong n
aidez moi s'il vous plait et si vous avez d'autres methodes n'esitez pas a me les montrer
et merci d'avance


Posted by: tito

bonjour, on ne pourrait pas calculer de façon explicite la dérivé k-iéme de f et montrer qu'elle s'écrit bien comme un élément de Tn ?


Posted by: mostdu95

d'abord mersi pour votre reponce tito;
j'ai deja ecris cela f^{k}(x)=\displaystyle \sum_{j=0}^{n}{a_j(cos(jx)^{(k)}+b_j(sin(jx))^{(k) }} mais je sais pas la calcule plus precisement


Posted by: tito

bonjour,

tu peut distiguer 2 cas celui ou k = 2p et k = 2p+1

pour k = 2p on a : D(2p)(cos(jx)) = j^(2p).((-1)^p).cos(j.x)
D(2p)(sin(jx))= j^(2p).((-1)^p).sin(j.x)

donc D(2p)(f(x))= somme( Rj.cos(j.x) + Tj. sin(j.x) , j=0......n)
est bien un élément de Tn avec Rj = aj.(j^(2p)).((-1)^p) et Tj =........
qui sont bien des réels.
on fait la méme chose avec k=2p+1 ( on obtiendra un sin à la place du cos et un cos à la place du sin ) mais cela sera tj un élmts de Tn
bien sur tous les résultats sont à vérifier


Posted by: xyz1975

Citation:
Posté par mostdu95
soit T_n l'ensemble des fonctions f de R ds R DEFINIES par :
f(x)=\displaystyle \sum_{j=0}^{n}{a_jcos(jx)+b_jsin(jx)}
a_j et b_j st des reels et les elmts de T_n st les polynomes de degre inferieur ou egale a n

C'est quoi Tn en juste?
La dérivée k-ième de cos(x) est cos(x+kpi/2). De même pour sin.


Posted by: mostdu95

pourquoi j^(2p) et (-1)^p ; on peut pas faire trainer 2p comme ça ,c'est pas un exposant le nbre de drivee.dc si je comprend bien vous supposer ds un premier tps que le nbre de fois où vs derivez f est pair mais je ne suis pas d'accord avec la formule que vous trouver ou du moins je ne l'ai pas comprise .....


Posted by: mostdu95

Citation:
Posté par xyz1975
C'est quoi Tn en juste?
La dérivée k-ième de cos(x) est cos(x+kpi/2). De même pour sin.

T_n st les polynomes trigonometrique de degre inferieur ou egale a n et c'est l'ensemble des fct de la forme de f


Posted by: mostdu95

ahhhhhhhhhhhhhhhhhhh c'est bon j'ai compris merci beaucoup TITO youpii


Posted by: tito

:p de rien et bonne chance !


Posted by: mostdu95

j'ai une autre question
si f s'annule 2n+1 fois points distincts de l'interv [a,a+2pi] avec a appartient R .comment je peux montrer que f' s'annule en 2n+1 points distincts de cet intervalle
et merci encore


Posted by: bitonio

Citation:
Posté par mostdu95
j'ai une autre question
si f s'annule 2n+1 fois points distincts de l'interv [a,a+2pi] avec a appartient R .comment je peux montrer que f' s'annule en 2n+1 points distincts de cet intervalle
et merci encore


Salut,
il faut appliquer Rolle assez judicieusement.

Ps: A noter (pour info car pas utilie pour ec que tu cherches à montrer) que si f s'annule 2n+1 fois sur [a;a+2\pi[, alors f est identiquement nulle (il faut considérer un polynôme trigonométrique)


Posted by: tito

bonjour, f est une fonction quelconque ?


Posted by: bitonio

Citation:
Posté par tito
bonjour, f est une fonction quelconque ?


Bonjour,
il est d'usage de lire le début du post avant d'intervenir...


Posted by: mostdu95

Citation:
Posté par tito
bonjour, f est une fonction quelconque ?

nn f c'est la fonction de depart:f(x)=\displaystyle \sum_{j=0}^{n}{a_jcos(jx)+b_jsin(jx)}


Posted by: tito

bonjour, alors ya un truc que je comprend pas d'aprés la déf. de départ f est une fonction polynomiale de R dans R de degrés inférieur ou égal à n comment peut-elle avoir 2n+1 racines ?


Posted by: mostdu95

c'est les elements de T-n qui sont de deg <=n et j'ai juste dis que t_n est l'ensemble des polynomes trigo de la forme de f ça sous entends que f peut etre de dgre > n,
en fait j'ai essayé de resume mon ennonce c'est pour ça que g dis a la fois que tn etait ens des poly trig < n ....desolé


Posted by: nuage

Salut,
Citation:
Posté par mostdu95
j'ai une autre question
si f s'annule 2n+1 fois points distincts de l'interv [a,a+2pi] avec a appartient R .comment je peux montrer que f' s'annule en 2n+1 points distincts de cet intervalle
et merci encore

tu peux pas car c'est faux.
A titre d'exemple prendre a=0 et f=sin


Posted by: mostdu95

c'est un sujet de concour donc je pense pas quia une erreure.....!!!!!!!!!!!!!!!!
de toute façon la question c'est de mq SI f s'annule en 2n+1 points distinct de l'intervalle comment peut on montrer que la derivee l'est aussi


Posted by: nuage

Salut,
Il faut ouvrir l'intervalle [a; a+2 pi] au moins d'un côté.
Ensuite si f est dérivable sur [a;b] et f(a)=f(b) alors il existe c dans [a;b] tel que f'(c)=0 (théorème de Rolle).


Posted by: bitonio

Citation:
Posté par mostdu95
c'est un sujet de concour donc je pense pas quia une erreure.....!!!!!!!!!!!!!!!!

Détrompe toi, il y a des erreurs d'énoncés tous les ans!!!










-