Petite question :
il est bien connu que l'on peut "multiplier" des
inégalités entre nombre réels lorsqu'ils sont tous
positifs.
Mais comment le démontrer ?
J'ai peur de dire un grosse bétise, mais bon... le ridicule
ne tue pas, surtout sous couvert d'anonymat. Faut il revenir
à la définition de (par exemple) la relation "<", qui je suppose
est définie par prolongement successifs de la relation "<" sur
N, Z, Q et R ??? Ou peut-on le justifier à l'aide d'une autre
propriété de cette relation que l'on accepte comme axiome ?
Merci d'avance
Posted by: albert junior
Jock Ewing a écrit:
> Hello,
>
> Petite question :
> il est bien connu que l'on peut "multiplier" des
> inégalités entre nombre réels lorsqu'ils sont tous
> positifs.
>
> Mais comment le démontrer ?
>
> J'ai peur de dire un grosse bétise, mais bon... le ridicule
> ne tue pas, surtout sous couvert d'anonymat. Faut il revenir
> à la définition de (par exemple) la relation "<", qui je suppose
> est définie par prolongement successifs de la relation "<" sur
> N, Z, Q et R ??? Ou peut-on le justifier à l'aide d'une autre
> propriété de cette relation que l'on accepte comme axiome ?
>
>
> Merci d'avance
J'espère ne pas dire de bêtise, mais il me semble que la propriété :
(x >=0, y>= 0) => (x*y >=0) fait partie des axiomes qui définissent R.
--
albert
Posted by: µ
>> J'ai peur de dire un grosse bétise, mais bon... le ridicule
>> ne tue pas, surtout sous couvert d'anonymat. Faut il revenir
>> à la définition de (par exemple) la relation "<", qui je suppose
>> est définie par prolongement successifs de la relation "<" sur
>> N, Z, Q et R ??? Ou peut-on le justifier à l'aide d'une autre
>> propriété de cette relation que l'on accepte comme axiome ?
>>
>>
>> Merci d'avance
>
> J'espère ne pas dire de bêtise, mais il me semble que la propriété :
> (x >=0, y>= 0) => (x*y >=0) fait partie des axiomes qui définissent R.
Non, car il faut bien définir précisément le produit avant... Ce serait
plutôt une conséquence.
Si on définit R comme le complété de Q (avec les suites de Cauchy), c'est
une conséquence de la même propriété sur Q, qui elle même vient de celle sur
Z. Et sur Z, ça marche, car multiplier deux entiers positifs revient à
additionner des entiers naturels, et donne donc un entier naturel.
--
Mû
Posted by: Jock Ewing
albert junior wrote:
> Jock Ewing a écrit:
>
>> Hello,
>>
>> Petite question :
>> il est bien connu que l'on peut "multiplier" des
>> inégalités entre nombre réels lorsqu'ils sont tous
>> positifs.
>>
>> Mais comment le démontrer ?
>>
>> J'ai peur de dire un grosse bétise, mais bon... le ridicule
>> ne tue pas, surtout sous couvert d'anonymat. Faut il revenir
>> à la définition de (par exemple) la relation "<", qui je suppose
>> est définie par prolongement successifs de la relation "<" sur
>> N, Z, Q et R ??? Ou peut-on le justifier à l'aide d'une autre
>> propriété de cette relation que l'on accepte comme axiome ?
>>
>>
>> Merci d'avance
>
>
> J'espère ne pas dire de bêtise, mais il me semble que la propriété :
> (x >=0, y>= 0) => (x*y >=0) fait partie des axiomes qui définissent R.
>
Je ne me souviens pas de ça comme d'un axiome de R. Mais peu importe, ça
m'aurait suffit dans le genre propriété intuitive. Par contre je ne vois
quand meme pas comme réduire mon problème de multiplications
d'inégalités (0 < x < a, 0 < y < b => 0 < xy < ab) à cette propriété.
Posted by: albert junior
Jock Ewing a écrit:
> Je ne me souviens pas de ça comme d'un axiome de R. Mais peu importe, ça
> m'aurait suffit dans le genre propriété intuitive. Par contre je ne vois
> quand meme pas comme réduire mon problème de multiplications
> d'inégalités (0 < x < a, 0 < y < b => 0 < xy < ab) à cette propriété.
>
Là pour le coup ca devient plus facile :
(a-x) > 0 et (b-y) > 0 donc si on admet la propriété citée précedemment,
(a-x)*(b-y) > 0 et en dévellopant a*b + x*y > a*x + b*y > x^2 + y^2.
Alors montrer que a*b > x*y <=> a*b - x*y > 0 <=> x^2 +y^2 -2*x*y > 0 ce
qui est vrai (c'est (x-y)^2)).
--
albert
Posted by: masterbech
"Jock Ewing" <jock@southfork.com> a écrit dans le message de news:
ct0u9d$bf7$1@trompette.imag.fr...
> Hello,
>
> Petite question :
> il est bien connu que l'on peut "multiplier" des
> inégalités entre nombre réels lorsqu'ils sont tous
> positifs.
>
> Mais comment le démontrer ?
>
> J'ai peur de dire un grosse bétise, mais bon... le ridicule
> ne tue pas, surtout sous couvert d'anonymat. Faut il revenir
> à la définition de (par exemple) la relation "<", qui je suppose
> est définie par prolongement successifs de la relation "<" sur
> N, Z, Q et R ??? Ou peut-on le justifier à l'aide d'une autre
> propriété de cette relation que l'on accepte comme axiome ?
Tu trouveras à la page ci-dessous une construction possible des réels basée
sur les suites de Cauchy qui contient en outre la preuve des inégalités sur
R
Plus simplement on écrit
ab-xy=ab-ay+ay-xy=a(b-y)+y(a-x) tous les termes étant positifs on obtient le
résultat.
"albert junior" <alberteinstein588***@hotmail.com> a écrit dans le message
de news: 41F4063C.7050007@hotmail.com...
> Jock Ewing a écrit:
>
>> Je ne me souviens pas de ça comme d'un axiome de R. Mais peu importe, ça
>> m'aurait suffit dans le genre propriété intuitive. Par contre je ne vois
>> quand meme pas comme réduire mon problème de multiplications d'inégalités
>> (0 < x < a, 0 < y < b => 0 < xy < ab) à cette propriété.
>>
>
> Là pour le coup ca devient plus facile :
> (a-x) > 0 et (b-y) > 0 donc si on admet la propriété citée précedemment,
> (a-x)*(b-y) > 0 et en dévellopant a*b + x*y > a*x + b*y > x^2 + y^2.
> Alors montrer que a*b > x*y <=> a*b - x*y > 0 <=> x^2 +y^2 -2*x*y > 0 ce
> qui est vrai (c'est (x-y)^2)).
>
> --
> albert
>