jolie suite

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Posted by: aviateurpilot

voila une autre suite sympa, lol

p premier
a_i=i pour i\in\{0,1,2,...,p-2\}
a_{n+1} est le plus petit entier natuel plus grand que a_{n} tel que:
\forall \{m_1,m_2,...,m_{p-1}\}\subset\{1,2,...,n\}
a_{m_1},a_{m_2},...,a_{m_{p-1}},a_{n+1} n'est pas une pogression arithmetique.

montrer quea_n=le nombre n ecris dans la base p-1 est lu dans la base p

bn chance


Posted by: _-Gaara-_

Salut,

je n'ai pas bien compris le problème XD


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Posté par _-Gaara-_
Salut,

je n'ai pas bien compris le problème XD

1er pt) pour la consruction de (a_n)
on a donne les p-1 premiers terms.
et pour a_{n+1} ( n\ge p-2 )
on regarde tous les entiers x qui ne forme pas une progression arithmetique avec p-1 element de \{a_1,a_2,.....,a_n\}.
a_{n+1} est le plus petit des ces x

2eme p)
pour n=\overline{b_1b_2b_3..b_n}^{(p-1)} on doit montrer que a_n=\overline{b_1b_2b_3..b_n}^{(p)}


Posted by: _-Gaara-_

Hummm aviateur, j'y ai passé la nuit et je ne comprends toujours pas

j'ai compris la 1ere partie mais la 2eme je ne vois pas :(

c'est quoi l'écriture dans la base (p-1) et celle dans la base (p)

d'une façon générale c'est quoi l'écriture dans une base p ? Je connais la base décimale, hexadécimale, binaire etc.. mais une base p quelconque je ne vois pas :'(


Merci =)


Posted by: aviateurpilot

par analogie a la bas decimal,
n=\overline{b_hb_{h-1}...b_1b_0}^{(p)} si et seulemnt si n=\bigsum_{i=1}^{h}b_ip^{i}

ici on a b_i\in\{0,1,2,...,p-1\}


Posted by: _-Gaara-_

Ah d'accord ! je ne savais pas çà moi ! Merci aviateur =)

je reprends l'exo alors en espérant réussir :p


Posted by: ffpower

Soit \displaystyle A=\{\overline{b_hb_{h-1}...b_1b_0}^{(p)}=\sum_{k=0}^h{b_kp^k},h\geq 0,0\leq b_k \leq p-2\}

Le but est de montrer que a_n est le n ieme terme de A.

Propriété 1:A ne contient pas de progressions arithmétiques de longueur p
Preuve:Soit x=\overline{x_h...x_1x_0}^{(p)} et u=\overline{u_{h'}...u_1u_0}^{(p)} 2 entiers >0 décomposés en base p.Montronss que les x+mu,0\leq m\leq p-1 ne peuvent etre tous dans A.Si d est le plus petit entier tel que u_d\not=0,dans la décomposition x+mu=\overline{b_{h''}...b_1b_0}^{(p)},on a b_d=x_d+mu_d mod p.u_d etant non nul donc inversible modulo p,on peut trouver m\leq p-1 tel que b_d=p-1 et alors x+mu n est pas dans A

Propriéte 2:Si x n est pas dans A, on peut trouver une progression arithmetique de longueur p finissant par x et telle que les p-1 premiers termes soient dans A.
Preuve:Ecrivons \displaystyle x=\overline{b_h...b_1b_0}^{(p)}=\sum_{k=0}^h{b_kp^ k}
et posons:
\displaystyle D=\{k|b_k=p-1\}
\displaystyle y=\sum_{k\not\in D}b_kp^k
\displaystyle u=\sum_{k\in D}p^k
Alors pour 0\leq m\leq p-2,y+mu est dans A et y+(p-1)u=x

Le résultat découle alors des propriétés 1 et 2 par une reccurence directe:
Supposons avoir montrer que a_k est le k-ieme terme de A pour k=1,...,n-1
Comme A ne contient de suite arith de longueur p(propriété 1),a_n est plus petit que le n-ieme terme de A.De plus a_n est dans A sinon on obtiendrait une absurdité par la propriété 2.Donc a_n est le n-ieme terme de A..










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