Isomètries pour la norme Np

[kazeriahm]

bonjour

le sujet des concours communs polytechniques (ensi) d'algebre portait sur le dénombrement des isomètries de Rn pour la norme Np.

En fait on caractèrise les isomètries comme suit : un endomorphisme u est une isomètrie pour Np ssi la sphère unité pour la norme p est invariante par u (u(S(Np))=S(Np)).

On est amené ensuite à montrer de manière très "algèbrique" que si N est une norme euclidienne, alors il existe une infinité d'isomètries (en particulier N2 possède une infinité d'isomètries),plus particulièrement le groupe des isomètries est isomorphe au groupe orthogonal, et que si p est différent de 2, alors Np ne possède qu'un nombre fini d'isomètries.

Je voulais savoir s'il existait un moyen géomètrique de le voir en se servant de la caractèrisation sus citée : pour la norme N2, la sphère unité est est invariante par toutes les rotations , qui sont donc toutes des isomètries en nombre infini, alors que si p distinct de 2, la sphère unité pour la norme p possède des angles et donc elle n'est pas invariante par les rotations...
Peut-on en tirer quelque chose ?

Je sais pas si c'est très clair... Si quelq'un a une réponse...

Merci

[serge75]

A priori tu en tires que les rotations ne sont (en général) des isométries que pour la norme 2.
Je précise ce que j'entends par 'en général' : si p différent de 2, il existe des rotations qui ne sont pas des isométries, et ce grace à ta remarque sur les angles.
Ceci n'empêche pas que les symétries axiales par rapport aux axes de coordonnées (qui sont des rotations) soient elles clairement des isométries.
En espérant n'avoir pas dit trop de bêtises.
Serge

[kazeriahm]

je suis d'accord, mais ces symtètries n'existent donc qu'en nombre fini mais c'eest la toute ma question.

ce que l'on sent sur un dessin est il demontrable de manière non algèbrique?

[yos]

Bonsoir.
Pourquoi parles-tu d'angles? La boule pour N3 dans R^2 par exemple est une sorte de carré aux coins bien arrondis. De manière générale, je dirais que la norme est différentiable.

[kazeriahm]

erm en fait je regardai pour la norme N1 c'est vrai que j'ai pas regardé en detail les autres. mais il s'avere que ces spheres unites de Np pour p different de 2 n'ont pas cette propriété qu'à celle de N2, d'etre stable pour toutes les rotations... c'est ca que je veux dire.

parcontre je vois pas bien en quoi le fait que les norme soient différentiable ait un rapport avec sa sphère unité