Mathématiques - isométrie et rotation vectorielle

isométrie et rotation vectorielle
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Posted by: log86

Bonsoir j'ai un peu de mal à comprendre ce que sont les matrices d'une isométrie vectorielle et celle des rotations vectorielles
Pourriez vous me dire si ce que je dis est juste s'il vous plait?

On travaille dans un plan P d'espace vectoriel associé $\vec{P}$
Un endomorphisme f de $\vec{P}$ est une rotation vectorielle si et seulement si il existe (a,b) appartenant à R avec a²+b²=1 tels que dans toute base orthonormée de $\vec{P}$ la matrice de f est soit
a -b
b a

soit
a b
-b a
C'est bien çà?

Et f est une isométrie vectorielle si il existe (a,b) appartenant à R avec a²+b²=1 tels que dans toute base orthonormée de $\vec{P}$ la matrice de f est soit
a -eb avec e appartenant à {-1,1}
b ea

C'est bon?
Si non pourriez vous me dire ce que c'est s'il vous plait.
Merci pour votre aide

Posted by: tize

Citation:

...est une rotation vectorielle si et seulement si il existe (a,b) appartenant à R avec a²+b²=1 tels que dans toute base orthonormée de $\vec{P}$ la matrice de f est...

Bonjour,
la formulation est incorrect, on devrait plutôt dire : dans toute base orthonormée, il existe $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ avec $a^2+b^2=1$ tel que la matrice associée soit $\begin{matrix}a & -b \\ b & a \end{matrix}$ , le deuxième "soit" est inutile quitte à changer le signe de $b$ .
Pour les isométries, d'accord pour la forme mais même remarque : dans toute base orthonormée il existe...

Posted by: busard_des_roseaux

bjr,
on considère une matrice 2x2 d'une application linéaire qui conserve
la norme. Elle conserve également le produit scalaire car

$\displaystyle <x,y>=\frac{1}{4} \left( ||x+y||^2-||x-y||^2 \right)$

On écrit les égalités qui expriment la conservation du produit scalaire
et de la norme:, lorsque les vecteurs de base forment une base orthonormée.

$\begin{\array} \left{ ||f(e_{1})||= a^2+b^2=1 \\ ||f(e_{2})||= c^2+d^2=1 \\ <f(e_{1}),f(e_{2})>=ac+bd=0 $

La forme d'une matrice orthogonale en découle.

De plus, quand le corps de scalaires est $\mathbb{R}$ , on utilise la surjectivité des applications $x \rightarrow \cos(x)$
et $x \rightarrow \sin(x)$
de $\mathbb{R}$ sur [-1;1] pour obtenir la forme
d'une matrice de rotation:

$\begin{\array} \left( \cos(\theta) \quad - \sin(\theta) \\ \sin(\theta) \quad \cos(\theta) \right)$

Posted by: log86

Bonjour merci pour vos réponses, c'est vrai tize que je n'ai pas du tout fait attention à la formulation; je voulais juste connaître les matrices... en tout cas merci à vous deux !