Irrationnalité de racine de 2

[Anonyme]

J'aimerais l'avis de quelqu'un qui puisse me confirmer si mes répones sont justes ou non. MERCI

Voici l'énoncé :
Démonstration par l'absurde de l'irrationnalité de racine de 2
On veut monter que V2 n'est pas un nombre rationnel. On fait une hypothèse : supposons que V2 = p/q, la fraction p/q étant irréductible.

1°) a) Vérifier que p au carré = 2 * q au carré
Ma réponse : On sait que V2 = p/q alors (V2)au carré = (p/q)au carré donc 2 = p au carré/q au carré soit p au carré = 2*q au carré

b) En déduire que p au carré pair.
Ma réponse : On sait que tous les nombres pairs sont des multiples de 2. On en déduit que 2*q au carré est pair donc on en conclut que p au carré qui est égal à 2*q au carré est pair

2°) a) Démontrer que le carré d'un nombre pair est un nombre pair et que le carré d'un nombre impair est un nombre impair.
Ma réponse : Tous les nombres pairs s'écrivent : 2n
On a donc : (2n)au carré = 4n au carré
On conclut que le carré est un nombre pair quelque soit l'entier naturel car 4n au carré est divisible par 2

Tous les nombres impairs s'écrivent : 2n + 1
On a donc (2n + 1)au carré = 4n au carré + 4n + 1
On en conclut que le carré est un nombre impair quelque soit l'entier naturel car 4n au carré + 4n + 1 n'est pas divisible par 2.

b) En déduire que p est pair.
Ma réponse : On sait que 2*q au carré est pair donc on a aussi 2*q pair. On en conclut que p est un nombre pair.

3°) Le nombre p étant pair, on pose p = 2a (a entier non nul). Monter que q est pair.
Ma réponse : On sait que p = 2a donc p au carré = 4*a au carré
Comme p au carré = 2*q au carré, il en résulte que 4*a au carré = 2*q au carré
puis en divisant par 2 : 2*a au carré = q au carré
On conclut que q au carré est pair donc q l'est également.

4°) Pourquoi les réponses des questions 2°) et 3°) sont-elles contradictoires avec l'hypothèse? L'hypothèse de départ est donc fausse! En déduire que V2 est irrationnel.
Ma réponse : On a fait l'hypothèse que V2 = p/q, la fraction p/q étant irréductible. Or on a démontrer que p et q sont des nombres pairs donc la fraction n'est pas irréductible. L'hypothèse de départ est donc fausse. J'en déduis que V2 est irrationnel car ce nombre ne s'écrit pas comme un quotient d'un entier par un entier non nul.


Voilà j'espère que ce que j'ai fait est juste parce que j'y ai passé vraiment beaucoup de temps. Merci de me confirmer mes réponses.

[Galt]

2 b) je dirais plutôt : p a son carré pair, donc il est forcément pair (puisqu'il ne peut pas être impair)
Le reste est bien