Je vous soumets l'énoncé complet afin de comprendre l'intégralité du problème. J'ai trouvé les 2 premières questions et n'arrive pas à conclure sur la question 3. Je me permets de vous le soumettre; peut-être seriez vous plus éclairé que moi.
Merci par avance.
Voici l'énoncé
Soit a un entier strictement positif qui n'est pas le carré d'un autre entier. On se propose de démontrer que Racine(a) est irrationnel, c'est à dire que Racine(a) ne peut pas s'écrire sous la forme du quotient de deux entiers p et q avec q non nul. Pour cela nous allons raisonner par l'absurde.
Si a n'est pas le carré d'un entier, on peut l'encadrer par les carrés de deux entiers sucessifs, à savoir : n^2< a< (n+1)^2. Supposons alors que l'on puisse écrire
Racine(a) = p/q, la fraction ainsi écrite étant irréductible.
1) De Racine(a) = p/q et Racine(a) + n = (a - n^2)/(Racine(a) - n), déduire que p/q = (aq - np)/(p - nq).
2) Montrer que n <Racine(a) < n +1 entraine 0 < p-qn < q.
3) Conclure.
Laurent
Posted by: emdro
Bonjour,
où en es-tu?
Posted by: Rain'
a la dernière apparemment.
Posted by: yos
Bonsoir. Tu as une écriture de avec un dénominateur <q et c'est pas possible.
Posted by: emdro
Citation:
Posté par Rain'
a la dernière apparemment.
Il faut que je me couche de plus en plus tôt, cela m'inquiète!
Désolé!
Posted by: pianiste06
C'est justement ce qu'il faut démontrer... l'incohérence. Mais je ne vois pas trop comment conclure.
Je sais qu'il s'agit d'un raisonnement par l'absurde; mais je sens que je passe à côté de la conclusion.
Posted by: emdro
Comme t'a dit Yos, tu as réussi dans la question précédente à trouver une fraction égale à p/q de dénominateur inférieur à q, alors que p/q était irréductible.
Posted by: pianiste06
Ca, c'est vraiment intelligent.
Mille mercis à vous.
Posted by: emdro
Merci à toi: je ne connaissais pas cette démonstration!
avec un dénominateur <q et c'est pas possible.
