Mathématiques - interpolation

interpolation
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: legeniedesalpages

Bonjour j'ai un souci avec cette question:

On considère $f$ une fonction réelle de classe $C^2$ sur $[a,b]$ , et $P_1$ son polynôme d'interpolation de degré 1.

Montrer que $|f(x) - P_1(x)| \leq \frac{1}{8} M_2 h^2$ ,

où $M_2= \sup_{t\in [a,b]} |f^{(2)}(t)|$ et $h = \frac{b-a}{2}$ .

D'après le théorème des accroissements généralisés, on a

$|f(x)-P_1(x)|\leq \frac{M_2}{2} |(x-a)(x-b)|$ ,

mais de cette expression, je ne vois pas comment en déduire l'inégalité qu'on demande.

Merci pour vos indications.

Posted by: legeniedesalpages

Il faudrait que je montre en fait que

$|(x-a)(x-b)| \leq \frac{1}{4} h^2$ , mais je ne vois pas d'où ça vient?

Posted by: nuage

Salut,
un point de départ possible :
Soit $c$ tel que $\left| f(c)-P_1(c)\right|$ soit maximum.
Ensuite on utilise les accroissements finis généralisé à partir de $c$ et on exprime $f(a)-P_1(a)=0$ et $f(b)-P_1(b)=0$ en se rappelant que $f'(c)-P'_1(c) =0$

Posted by: legeniedesalpages

ok merci nuage