Mathématiques - intégration (erreur - ordre

intégration (erreur - ordre - précision)
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Posted by: MacManus

Bonjour à tous

On considère l'approximation suivante : $\large \int_{x_0}^{x_0+h}f(x)dx$ $\simeq$ $\frac{h}{4}(f(x_0)+3f(x_0+\frac{2h}{3}))$

Un développement de Taylor à l'ordre 4 de $f(x_0+\frac{2h}{3}))$ donne :
$f(x_0)+\frac{2h}{3}f'(x_0)+\frac{2h^2}{9}f^{''}(x_ 0)+\frac{4h^3}{81}f^{(3)}(x_0)+\frac{2h^4}{243}f^{ (4)}(x_0) + o((\frac{2h}{3})^4)$

à l'aide de ce développement, je peux en déduire une nouvelle expression du terme de droite (dans l'approximation), ce qui nous donne :

$\frac{h}{4}(f(x_0)+3f(x_0+\frac{2h}{3})) = \fbox{hf(x_0)+\frac{h^2}{2}f'(x_0)+\frac{h^3}{6}f^ {''}(x_0)+\frac{h^4}{27}f^{(3)}(x_0)+\frac{h^5}{16 2}f^{(4)}(x_0)}$ (1)

(est-ce correct au passage ?)

Je pose $f(x) = f(x_0+(x-x_0))$
En effectuant un développement de Taylor à l'ordre 4 de $f(x_0+(x-x_0))$ puis en intégrant, je dois obtenir un développement de Taylor à l'ordre 5 :
$\large \int_{x_0}^{x_0+h}f(x)dx = \large\int_{x_0}^{x_0+h}f(x_0+(x-x_0)) = \fbox{hf(x_0)+\frac{h^2}{2}f'(x_0)+\frac{h^3}{6}f^ {''}(x_0)+\frac{h^4}{24}f^{(3)}(x_0)+\frac{h^5}{12 0}f^{(4)}(x_0)}$ (2)
(est-ce correct ?)

On me demande ensuite de soustraire les 2 expressions (rouge) pour obtenir le 1er terme de l'erreur. Faut-il faire (1) - (2) ou bien (2) - (1) ?? Cela revient au même je pense (au signe près). J'ai fais pour ma part (1) - (2) et j'obtiens :
$\frac{-h^4f^{(3)}(x_0)}{126} + \frac{-h^5f^{(4)}(x_0)}{3240}$

Quelqu'un peut-il confirmer mes calculs ?
Le terme de gauche est un développement d'ordre 5 (si mes calculs sont corrects) et celui de droite est un développement d'ordre 4 (si mes calculs sont bons...)

En soustrayant ces 2 expressions j'obtiens le premier terme de l'erreur.
J'ai trouvé donc l'expression ci-dessus mais je ne sais pas si celle-ci est exacte.

Voila j'espère que quelqu'un pourra m'aider ....

Posted by: MacManus

Quelqu'un aurait-il le temps de bien vouloir me corriger ? merci beaucoup !!