Intégration par changement de variable

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Posted by: le fouineur

Bonjour à tous,

J'ai du mal à appliquer le changement de variable à l'intégrale suivante:

\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-2}

Si je fais le changement de variable proposé: x=1/t j'ai dx=\frac{-1}{t^2}dt
cette forme n'apparait pas dans l'intégrale proposée....Comment faire?

merci de me répondre


Posted by: anima

Citation:
Posté par le fouineur
Bonjour à tous,

J'ai du mal à appliquer le changement de variable à l'intégrale suivante:

\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-2}

Si je fais le changement de variable proposé: x=1/t j'ai dx=\frac{-1}{t^2}dt
cette forme n'apparait pas dans l'intégrale proposée....Comment faire?

merci de me répondre

J'ai peut-etre fait une erreur, mais ca marche plutot bien ce changement de variable...
t=1/x
dx=-1/t^2 dt
\int \frac{-dt}{t^2 t^{-1} \sqrt{\frac{1}{t^2} - 2}} \\<br /> \int \frac{-dt}{t \sqrt{\frac{1-2t^2}{t^2}} \\<br /> \int \frac{-dt}{\sqrt{1-2t^2}}
Apres... a toi de voir. Mais ca simplifie grandement, c'estl e cas de le dire.


Posted by: le fouineur

Bonjour anima et merci pour ta réponse rapide,

Je n'ai guère progressé depuis ton intervention,je suis arrivé à:

\int \frac{-1}{\sqrt{1-2t^2}} dt= \Large\int\frac{\frac{-dt}{\sqrt{2}}}{\sqrt{\frac{1}{2}-t^2}

Et je ne vois pas comment faire apparaitre une forme en: \frac{1}{1+u^2},Pourrais-tu me donner de nouvelles indications pour continuer?

D'avance merci


Posted by: mehdi-128

Bonjour la primitive de 1/sqrt(1-x^2) est arcsin(x).

Or, -dt/sqrt(1-2t^2)=-dt/sqrt(1-(sqrt(2)t)^2)

Ainsi ton intégrale vaut: -arcsin(sqrt(2)*t)


Posted by: le fouineur

Bonjour medhi- 128 et merci pour ta réponse,

Tu as oublié le 1/2 sous la racine il me semble....


Posted by: anima

Citation:
Posté par le fouineur
Bonjour medhi- 128 et merci pour ta réponse,

Tu as oublié le 1/2 sous la racine il me semble....

Il n'a pas fait comme toi. \sqrt{1-2t^2} \rightarrow \sqrt{1-(\sqrt{2}t)^2}
On obtient donc f(t) = -\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{2} t)^2}}
F(t)=-Arcsin(\sqrt{2}t)+k

D'ou F(x)=-Arcsin(\frac{\sqrt{2}}{x})+k


Posted by: le fouineur

Merci anima pour ta réponse,

Pourrais-tu revenir au message #3, d'après Mathematica la forme finale à obtenir est en arctan... La transformation que j'ai effectuée est t'elle correcte? Si oui comment continuer le calcul?

Merci de me répondre


Posted by: Pythales

J'ai l'impression qu'il est plus simple de poser x^2=u puis t=\sqrt{u-2}
et ça donne bien un arctg


Posted by: le fouineur

Bonjour à tous et merci Pythales pour ta réponse,

Il semble que le changement de variable proposé dans l'énoncé, soit x=1/t soit erroné.....En choisissant comme changement de variable t=\sqrt{x^2-2}, on arrive après simplifications à:

\Large\int\frac{dt}{2+t^2}

Comment faut-t'il procéder pour faire apparaitre une forme du type: \frac{1}{1+u^2}?

Merci de me répondre


Posted by: anima

Citation:
Posté par le fouineur
Bonjour à tous et merci Pythales pour ta réponse,

Il semble que le changement de variable proposé dans l'énoncé, soit x=1/t soit erroné.....En choisissant comme changement de variable t=\sqrt{x^2-2}, on arrive après simplifications à:

\Large\int\frac{dt}{2+t^2}

Comment faut-t'il procéder pour faire apparaitre une forme du type: \frac{1}{1+u^2}?

Merci de me répondre

\large \int \frac{dt}{2+t^2} = \int \frac{dt}{2(1+\frac{t^2}{2})} \\<br /> = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{1 + (\frac{t}{\sqrt{2})^2}
u = \frac{1}{\sqrt{2}}t
du = \frac{1}{\sqrt{2}} dt
Donc dt = \sqrt{2}du.
= \frac{\sqrt{2}}{2} Arctan(u) + k \\<br /> = \frac{\sqrt{2}}{2} Arctan(\frac{t}{\sqrt{2}})+k


Posted by: le fouineur

Merci anima pour ta réponse rapide

Ce problème est enfin terminé....


Cordialement le fouineur










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