Mathématiques - integralles

integralles
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: lyrah

Bonjour,

j'aimerai comprendre comment calculer les integralles je sais les faire avec la calculatrice mais pour y arriver au resultat je ne sais pas!

par exemple pour calculer

∫[sin(x) cos²(x) dx]

je sais que ça donne (-cos(x)^3)/3

Mais pour y arriver à ce resultat je tourne en rond.

merci d'avance

Posted by: mln

Bonjour,

sin(x)cos(x)²=-u'(x)*u(x)²=-1/3*(3*u'(x)*u(x)²) avec u = cos
d'ou le résultat.
Bon courage

Posted by: fonfon

Salut, ici dans ton exemple c'est de la forme

$\Large{-U^'U^2}$ donc de primitive $\Large-\frac{U^{n+1}}{n+1}$

Posted by: Zebulon

Bonjour,
on fait un changement de variable : on pose u(x)=cos(x).
On doit donc calculer l'intégrale -\int{u^2}\du car u'(x)=-sin(x).
A bientôt!

Posted by: lyrah

merci pour la formule est ce que ça fonctionne pour tout type d'equation?

par exemple pour

∫[sin²(x)dx]

c'est u² donc ce qui donne une primitive de (1/3)*u^3 ou c'est seulment à utilisé pour -u'u²?

Posted by: fonfon

çà marche pour des fonctions du genre

$\Large{f}={U^'U^n}$ alors $\Large{F}=\frac{U ^{n+1}}{n+1}$

pour $\Large{sin^2(x)}$ utilise les formules de trigo à savoir que

$\Large{sin^2(x)}=\frac{1-cos(2x)}{2}$ apres tu cherches une primitive...

Posted by: lyrah

et pour les sin ou cos de degré supérieur à 2comme sin^4(x) ou cos^5(x) la trigo ne fonctionne plus n'est pas? alors comment on simplifie tout ça?

Posted by: Zebulon

On linéarise en utilisant les formules :
$\Large{cos}(x)={{e^{ix}+e^{-ix}}\over2}$ et $\Large{sin}(x)={{e^{ix}-e^{-ix}}\over{2i}}$ .

Par exemple,
$\Large{sin^4(x)}=({{e^{ix}-e^{-ix}}\over{2i}})^4 \\={1\over{16}}(e^{4ix}-4e^{3ix}.e^{-ix}+6e^{2ix}.e^{-2ix}-4e^{ix}.e^{-3ix}+e^{-4ix}) \\={1\over{16}}(e^{4ix}-4e^{2ix}+6-4e^{-2ix}+e^{-4ix}) \\={1\over8}({{e^{4ix}+e^{-4ix}}\over2}-4{{e^{2ix}+e^{-2ix}}\over2})+{6\over{16}} \\={{cos(4x)}\over8}-{{cos(2x)}\over2}+{6\over{16}$

On peut maintenant en calculer une primitive...

Posted by: lyrah

merci beaucoup je vais essayer d'en faire pour savoir si j'ai bien compris!

Posted by: lyrah

j'ai calculer l'integrale de

sin^4(x)

donc j'ai fait la linéarisation ce qui me donne je crois

[exp(i4x) + exp(-i4x) - 4exp(i2x) + 4exp(-i2x)]/8

mais cette forme ne donne pas une primitive

(3x)/8 + (sin(4x)/32) - (sin(2x)/4)

et pourtant on doit arriver à cette forme où est ce que je me suis trompée?

Posted by: fonfon

Regardes ce que zebulon a fait un peu plus haut

Posted by: Nicolas_75

Bonjour,

Pourquoi demandes-tu comment faire, alors que Zebulon t'a donné la démonstration complète avec les complexes ?

Sinon, avec les formules trigonométriques de base...

$\begin{array}{rcl} \forall x\in\mathbb{R},\quad \sin^4x &=& \sin^2x\cdot\sin^2x \end{array}$
Or $\forall x\in\mathbb{R},\quad \sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}$
Donc :
$\begin{array}{rcl} \forall x\in\mathbb{R},\quad \sin^4x &=& \frac{1}{4}\left(1-\cos 2x\right)^2\\ &=&\frac{1}{8}(2-4\cos 2x+2\cos^22x) \end{array}$
Or $\forall y\in\mathbb{R},\quad 2\cos^2y=1+\cos 2y$
Donc :
$\begin{array}{rcl} \forall x\in\mathbb{R},\quad \sin^4x &=& \frac{1}{8}(2-4\cos 2x+1+\cos 4x)\\ &=&\frac{1}{8}(\cos 4x-4\cos 2x+3) \end{array}$

Nicolas