Bonjour,j'ai bloqué et d'ailleurs personne que je connaisse n'a réussi cette question du sujet de mathématiques de centrale 2007,et par curiosité j'aimerai connaitre la réponse:
Soit g une fonction continue sur R ,à valeurs complexes,continue par morceaux et T périodique et soit k appartenant a Z,étudier:
lim(t->+inf) [1/t *int(0..t) exp(ikx)*g(x)dx ]
On pourra distinguer le cas:kT appartenant a 2.Pi.Z .
merci....
Posted by: fahr451
bonjour
généralisation du lemme de riemann lebesgue
Posted by: mehdi-128
Ca me dit absolument rien.....
Posted by: fahr451
rien à voir oublie
Posted by: fahr451
1 cas
kT = 2pim , m entier
donc 2pi/k = T/m
f(x) = exp(ikx) est 2pi/k = T/m périodique donc T périodique et g aussi
et en découpant t = nT +r avec 0=<r<T on trouve
une limite égale à 1/T intégrale de 0 à T de fg
Posted by: fahr451
2 ieme cas
on redécoupe
on a
intégrale de 0 à nT = sigma m= 0,...,n-1 intégrale mT à (m+1)T
= sigma exp (ikmT) intégrale 0 à T de fg
= (1 - exp(iknT)/(1-exp(ikT) intégrale 0 à T = bornée.
c'est la que exp(ikT) distinct de 1 intervient
on trouve une limite nulle grâce au n du dénominateur
Posted by: mehdi-128
merci......
Posted by: mehdi-128
Je comprends pas le passage:
et en découpant t = nT +r avec 0=<r<T on trouve
une limite égale à 1/T intégrale de 0 à T de fg
Et aussi: ntégrale de 0 à nT = sigma m= 0,...,n-1 intégrale mT à (m+1)T
= sigma exp (ikmT) intégrale 0 à T de fg
merci....
Posted by: fahr451
1 cas fg T périodique
pour t = nT +r 0=<r <T
je pose A(t) = intégrale du début
A(t) = (1/t) [ intégrale de 0 à T +intégrale de T à 2T +....+
intégrale de (n-1)T à nT +intégrale de nT à nT+r
les n premières intégrales sont égales à la première par périodicité
la dernière vaut intégrale de 0 à r
d'où A(t) = (n/t) intégrale de 0 à T + (1/t) intégrale de 0 à r
T=< t/n < T + T/t donc t/n ->T
le premier terme a la bonne limite