Intégrales généralisées

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Posted by: CC_

Bonjour!
Nous venons de commencer les intégrales généralisées, j'aurais un petit service à vous demander pour un calcul tout bête.

Il s'agit \int_{1}^{+ \infty}{\frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2}} \,\text{d}{x} , j'ai tenté une ipp qui ne semble pas aboutir. Quelle méthode serait à employer ici?

Merci bien!


Posted by: Alexandre_de_Prepanet

L'énoncé de l'exercice te propose quoi ? de calculer la valeur de cette intégrale ?


Posted by: abcd22

Bonsoir !
Peut-être un changement de variable u = \sqrt{x} ?


Posted by: Alexandre_de_Prepanet

Citation:
Posté par abcd22
Bonsoir !
Peut-être un changement de variable u = \sqrt{x} ?

Bof... Je vois bien un petit critère de Riemann perso


Posted by: abcd22

C'était pour calculer l'intégrale, pas pour prouver la convergence.


Posted by: Alexandre_de_Prepanet

De toute façon, t'en que tu n'as pas prouver la convergence tu peux rien faire donc ...


Posted by: tize

Plutot d'accord avec abcd22, ici la convergence ne pose aucun problème et avec le changement de variable 3$u=\sqrt{x} puis une IPP on trouve facilement la solution...


Posted by: CC_

Bonjour tous les trois,

Citation:
Posté par abcd22
C'était pour calculer l'intégrale, pas pour prouver la convergence.

Ben... On fait les deux en même temps, plus ou moins, non?

Merci pour l'idée du changement de variable, ça marche!


Posted by: abcd22

Citation:
Posté par CC_
Ben... On fait les deux en même temps, plus ou moins, non?

Non, il faut justifier la convergence avant de faire des calculs pour trouver la valeur de l'intégrale (surtout qu'ici c'est pas compliqué).


Posted by: CC_

Donc il faut faire une preuve à part montrant la convergence de l'intégrale? Mais comment? En trouvant une intégrale convergente qui majore celle-ci, il n'y a que ça ou d'autres méthodes?


Posted by: abcd22

Tu n'as pas vu le critère de Riemann dont parle Alexandre ?


Posted by: CC_

Comme critère de Riemann, j'ai bien vu celui des \frac{1}{t^a}, mais je ne vois pas trop comment l'appliquer ici.
De toute manière, ma question avait une portée générale en fait On ne pourra pas appliquer Riemann à toutes les intégrales, et pour celles où le critère n'est pas applicable, comment est-on censé procéder pour démontrer la convergence à part?


Posted by: abcd22

Ici la fonction à intégrer est positive et en l'infini \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} \sim \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} donc on peut utiliser le critère de Riemann. Le plus souvent pour prouver l'intégrabilité on prend un équivalent (après avoir vérifié que la fonction était de signe constant), ou alors on majore par quelque chose qu'on sait calculer (pour e^{-t^2} sur [1;+\infty[ on utilise e^{-t} par exemple).


Posted by: CC_

Ah d'accord! mais nous n'avons pas encore vu les équivalents (cela fera l'objet du prochain cours!).
Je te remercie pour toutes ces explications!
Bonne soirée à toi!










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