Bonjour à vous, j'aimerais avoir confirmation de mon résultat par un expert de l'intégrale triple, mais surtout des tétraèdres...
Voici ma question:
Soit R l'intérieur du tétraèdre de R³ ayant pour sommets: (0,0,0), (1,0,6), (0,1,4) et (0,0,3). Évaluer l'intégrale triple suivante:
∫∫∫ (x + 2y) dxdydz.
J'ai trouvé 1/8.
J'apprécierais vraiment si quelqu'un pouvait me confirmer mon résultat.
Merci de votre aide.
Posted by: Julien S.
ta question n'est pas claire. Clarifie-la ou personne ne va répondre...
Posted by: Johnny
Euh, je ne comprends pas, ma question semble claire, il faut faire l'intégrale triple suivante.... dsl
Posted by: Julien S.
je veux bien, mais intégrer sur quoi???
je veux dire quel rapport entre le tétraèdre et l'intégrale?
ok je crois que je comprends, il faut intégrer sur R?
Posted by: yos
Pour ma part je trouve 23/3 mais c'est à vérifier car j'ai griffonné rapidement.
Je te livre les grandes lignes :
K est délimité par les (OAB), (OBC), (OCA), (ABC) d'équation respective
-x+y+z=0, x=0, y=0, 3x+y-z=-3.
Il s'ensuit que .
D'où .
Bon courage.
Posted by: sirglorfindel
a priori je ne suis pas d'accord avec l'équation du plan que tu appelles (OAB), avec je suppose O(0;0;0), A(1;0;6) et B(0;1;4).
Personnelement, je trouve 6x+4y-z=0
Posted by: yos
Tu as raison. Il faut refaire les calculs. Je regarderai si j'ai le temps.
Posted by: sirglorfindel
personellement, quand je fais les calculs, je trouve -3/4...
Cela me semble bizarre de trouver un nombre négatif alors que l'on intégre que sur des valeurs positives...
Posted by: sirglorfindel
je pense que le problème vient du fait que y ne dépende pas de x... En effet, si on se contente de ne regarder que les plans (OAB) ... on peut avoir pour x=1 et y=1 : l'intégrale entre 10 et 7 ! Ceci explique donc le résulat négatif.
Je pense que la bonne solution est de prendre bien en compte que :
6x+4y < 3x+y+3
On en déduit : y < 1-x
On a donc que x varie de 0 à 1, y de 0 à 1-x et z de 6x+4y à 3x+y+3.
On trouve alors 3/8
Posted by: Johnny
Merci, le résultat est bien 3/8, j'avais intégré y entre 0 et -x.... pourquoi j'arrivais à 1/8.
![M(x,y,z)\in K \Leftrightarrow x\in [0,1], y\in [0,1], x-y\leq z \leq 3x+y+3](http://www.maths-forum.com/images/latex/ce653ce77dd6840ebddc4879e4d5a932.gif "M(x,y,z)\in K \Leftrightarrow x\in [0,1], y\in [0,1], x-y\leq z \leq 3x+y+3")
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