Intégrale tordue

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Posted by: bdupont

Pour ceux qui souhaitent s'entraîner à intégrer (niveau terminale ++), cette question posée à l'examen d'entrée à Cambridge.

\Large I=\int_0^{\pi/2}\frac{cos(x)}{psin(x)+qcos(x)}dx

Réponse dans une semaine (si besoin)


Posted by: yos

Appelle J la même intégrale avec un sinus à la place du cosinus au numérateur.
qI+pJ=pi/2

pI-qJ=ln(p/q)

d'où I=...


Posted by: Mikou

Yos tu nous gaches le plaisir de chercher la ...


Posted by: yos

Désolé. Pour me faire pardonner :
\int_0^{\pi} \frac{\ln(a-\cos x)}{\ln(b-\cos x)} dx


Posted by: bdupont

N'est-ce pas plutôt
\int_0^{\pi} \ln{\frac{(a-\cos x)}{(b-\cos x)} dx

Auquel cas la réponse serait bien sûr
\pi \ln{\frac{a-\sqrt{(a^2-1)}}{b-\sqrt{(b^2-1)}}


Posted by: yos

ah si! j'ai mis un ln en trop.
Et il faut bien sûr a,b >1.

Par contre ta réponse m'a l'air fausse : essaie a=3, b=2. L'intégrale est positive et ta valeur négative. Peut-être as-tu inversé a et b?
Je ne connais pas la réponse par coeur mais j'ai une méthode. A propos de méthode, je ne saurais me contenter de ton : "Auquel cas la réponse serait bien sûr" ...


Posted by: bdupont

Exact, petite erreur de signe en fin de parcours

\int_0^{\pi} \ln{\frac{(a-\cos x)}{(b-\cos x)} dx = \pi \ln{\frac{a+\sqrt{(a^2-1)}}{b+\sqrt{(b^2-1)}}

Pour la méthode je laisse un peu de temps à ceux qui cherchent encore.

Je peux dire que l'astuce de départ consiste à repérer que la fonction à intégrer est elle-même une intégrale.

J'ai tracé le graphique de la fonction pour a=3 et b=2. Il suffit de cliquer sur la tache ci-dessous.
[IMG]http://images1.pictiger.com/thumbs/...869e6ec7.th.png[/IMG]


Posted by: bdupont

Si certains étaient tentés par la méthode "brute force", je leur soumets la solution proposée par http://integrals.wolfram.com/index.jsp

[IMG]http://images1.pictiger.com/thumbs/...200425d8.th.gif[/IMG]


Posted by: yos

Quelle horreur ce calcul effectué par une machine!

On peut aussi faire ça :

f(t)=\int_0^{\pi}\ln(t-\cos x)dx.
f'(t)=\int_0^{\pi}\frac{1}{t-\cos x}.
Cette dernière intégrale se calcule classiquement en posant u=tan(x/2):
f'(t)=\frac{\pi}{\sqrt{t^2-1}}.
f(t)=\pi (argch b-argch 2)+f(2)
d'où la valeur de f(a)-f(b)










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