intégrale

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Posted by: mathelot

Bonjour,

quelqu'un(e) sait calculer :

\displaystyle \int_{0}^{1} x^{n-1} \, \frac{1-x^{m+2}}{1-x^{n}}

avec n > 0, m > 0 ?

A mon avis, le problème , c'est de simplifier avant d'appliquer la décomposition en éléments simples, parce qu'au dénominateur, toutes les racines sont simples.

Merçi pour vos suggestions.


Posted by: serge75

J'ai un petit doute sur ton énoncé. En es-tu sûr?
Sinon si tel est le cas, j'en veux bien la correction le jour où il te sera corrigé.
Serge


Posted by: Ted

A essayer:

si mes souvenirs sont bon, on peut ecrire 1/(1-x) comme une somme si x est dans ]0;1[?

1/(1-x)=1+x^2+x^3+.......+x^i+........

=somme x^i
Bien sur on change x en x^n, ca pose pas de probleme je pense, puisque x^n est aussi dans ]0;1[
Maintenant le probleme c'est d'intervertir la somme et l'integrale (reterai plus qu'un joli polynome).
Il faut voir comment ça converge. Je pense que si on arrete la somme à x^i , il reste un terme en x^(i+1)/(1-x^i).
Est-ce que ça converge en norme avec le reste de la fonction? je ne sais pas... Mais dans ]0;1[ je vois pas vraiment comment ça convergerai mal.
A voir.


Posted by: mathelot

bonjour,

le problème cette intégrale provient d'une série, je souhaiterai la calculer pour sommer la série.


Posted by: abcd22

Bonjour,
Pour la decomposition en elements simples il faut deja calculer la partie entiere : on a m = nq + r, 0 =< r < n, x^{m+n+1} - x^{n-1} = x^{(q+1)n+r+1} - x^{n-1} ... et euh j'ai pas de papier pour ecrire les calculs mais tu devrais savoir faire (le cas ou r = n-1 est a distinguer je pense). Ensuite quand on a une fraction rationnelle A/B avec B qui n'a que des poles simples et deg A < deg B, le coefficient devant 1/(x-a) (ou a est un pole de B) dans la decomposition est A(a)/B'(a). Avec ca on peut calculer l'integrale, mais je ne sais pas si c'est le plus rapide.
En fait apres reflexion je me dis qu'un changement de variable u =x ^n devrait mieux marcher car il elimine le x^{n-1} qui est devant.


Posted by: mathelot

bonjour,
j'ai le problème suivant:

j'ai une fraction rationnelle de polynômes \frac{P}{Q}
avec deg(P) < deg(Q)
où le polynome Q n'a que des zéros simples, malheureusement,
la fraction n'est pas simplifiée et P et Q ont des zéros communs.


Est-ce qu'il y a une formule de décomposition en éléments simples
qui s'appliquerait à une fraction non simplifiée ?

Merçi d'avance.


Posted by: serge75

Si tu en connais les pôles (ie les zéros non simplifiables) : oui.
Si j'appelle a1...an ces pôles, la décomposition est donnée par la somme des \frac{b_i}{X-a_i} où b_i est donné par b_i=\frac{P(a_i)}{Q'(a_i)}.
Celà répond-il à ta question ?


Posted by: mathelot

merçi beaucoup, serge.

Est-ce que la formule b_{i}=\frac{P(a_{i})}{Q ' (a_{i})}
s'applique à la forme non simplifiée \frac{P}{Q} ?
ça m'arrangerait énormément.
(si je trouve un théorème, je partage avec vous ..et abcd22 )
oui, j'ai réfléchi. Extraordinaire !!! la formule s'applique
à la forme \frac{P}{Q} non simplifiée.


Posted by: serge75

oui, mais dans le cadre strict de tes hypothèses, à savoir les zéros de Q sont simples, ce qui entraine que les pôles de ta fraction rationnelle ne sont pas des zéros simplifiables (en d'autres termes, ça ne marcherait pas si a était racine double de Q et racine simple de P). Ici les seuls zéros simplifiables de Q ne sont pas pôles du fait qu'ils sont racine simple et disparaissent après simplification. Ai-je été clair ?


Posted by: serge75

C'est plus fort que moi, je ne peux pas en rester là et vais te donner la cause de ce coefficient.
On appelle donc a_1,...a_n les pôles de ta fraction F, qui sont donc des racines simples de Q. Ainsi Q s'écrit Q=(X-a_1)...(X-a_n)R où R est un polynôme qui ne s'annule pas sur les a_i.
i étant fixé entre 1 et n, on a ainsi Q=(X-a_i)Q_i où Q_i n'est pas nul en a_i.
Classiquement, on écrit F=\frac{P}{(X-a_i)Q_i}=\frac{b_1}{X-a_1}+...+\frac{b_n}{X-a_n}. On multiplie par X-a_i et on évalue en a_i, et on obtient b_i=\frac{P(a_i)}{Q_i(a_i)}.
Reste à évaluer Q_i(a_i).
On dérive l'expression Q=(X-a_i)Q_i et on obtient :
Q'=(X-a_i)Q_i'+Q_i. Reste à évaluer en a_i et tu obtiens Q'(a_i)=Q_i(a_i) d'où le résultat.
On notera que cette formule est vraie pourvu que a_i soit une racine simple de Q et non racine de P, indépendemment de ce qui se passe pour les autres racines.
Serge


Posted by: mathelot

merçi.










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