Intégrale (2)

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Posted by: sl4cker

Voici un autre exercice sur les intégrales Quelqu'un pourrait-il m'aider ???

1. Calculer Intégrale [( cos t / ( 2 + sin²t)) dt] de 0 a Pi
2. Donner une primitive sur R de la fonction f : t -> Racine carrée (t²+t+1)


Posted by: tize

1) déjà posé : ici


Posted by: abcd22

Bonjour,
La deuxième est une intégrale abélienne, on écrit \sqrt{t^2 + t + 1} = \sqrt{\(t +\frac{1}{2}\)^2 + \frac{3}{4} } = \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{\(\frac{2t}{\sqrt{3}} +\frac{1}{\sqrt{3}} \)^2 + 1 } puis on fait le changement de variable u = \frac{2t}{\sqrt{3}} +\frac{1}{\sqrt{3}} puis u = sh v (car ch² x - sh² x = 1)(on peut aussi tout faire en un seul changement de variable).


Posted by: tize

Bravo abcd22 je dois avouer que souvent ce genre d'intégrale me rebute et face à elle je me sens totalement impuissant...


Posted by: sl4cker

Merci pour la réponse mais je n'ai pas compris comment tu as fait. On demande une primitive et ... je n'ai pas compris


Posted by: sl4cker

et je ne comprends pas non plus à quoi correspond le v à la fin


Posted by: abcd22

Citation:
Posté par tize
Bravo abcd22 je dois avouer que souvent ce genre d'intégrale me rebute et face à elle je me sens totalement impuissant...

J'ai la technique générale pour le calcul des intégrales abéliennes dans mes cours de prépa, une fois qu'on a compris la technique ce n'est pas très compliqué (sauf qu'il faut faire attention aux erreurs de calcul...).

Avec l'écriture que j'ai dite et le premier changement de variable, on obtient \int^x \sqrt{t^2 + t + 1 } dt = \frac{3}{4} \int^{\frac{2x}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}} \sqrt{u^2 + 1} du . Ensuite on refait un changement de variable u = sinh v (soit v = Argsh u) et du = cosh v dv :
\displaystyle \int^x \sqrt{t^2 + t + 1 } dt = \frac{3}{4} \int^{Argsh{\(\frac{2x}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}\)}} \cosh^2{v} dv = \frac{3}{4} \int^{Argsh{\(\frac{2x}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}\)}} \frac{1 + \cosh{(2v)}}{2} dv , après ça doit être finissable. Par contre j'ai pas très envie de redériver le résultat à la main pour vérifier si c'est ça...


Posted by: tize

Ok, merci beaucoup !










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